微分積分例

$f (x) = 3 x^{\ln (x)}$

ステップ 1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{\ln (x)}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

ステップ 2

対数の性質を利用して微分を簡約します。

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ステップ 2.1

$x^{\ln (x)}$ を $e^{\ln (x^{\ln (x)})}$ に書き換えます。

$3 \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\ln (x)})}]$

ステップ 2.2

$\ln (x)$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{\ln (x)})$ を展開します。

$3 \frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (x)}]$

ステップ 3

$\ln (x)$ を $1$ 乗します。

$3 \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln (x)}]$

ステップ 4

$\ln (x)$ を $1$ 乗します。

$3 \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln^{1} (x)}]$

ステップ 5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 \frac{d}{d x} [e^{{\ln (x)}^{1 + 1}}]$

ステップ 6

$1$ と $1$ をたし算します。

$3 \frac{d}{d x} [e^{\ln^{2} (x)}]$

ステップ 7

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \ln^{2} (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 7.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\ln^{2} (x)$ とします。

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

ステップ 7.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$3 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

ステップ 7.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\ln^{2} (x)$ で置き換えます。

$3 (e^{\ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

ステップ 8

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 8.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\ln (x)$ とします。

$3 e^{\ln^{2} (x)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 8.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 e^{\ln^{2} (x)} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 8.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\ln (x)$ で置き換えます。

$3 e^{\ln^{2} (x)} (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 9

$2$ に $3$ をかけます。

$6 e^{\ln^{2} (x)} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 10

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$6 e^{\ln^{2} (x)} (\ln (x) \frac{1}{x})$

ステップ 11

分数をまとめます。

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ステップ 11.1

$\ln (x)$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$6 e^{\ln^{2} (x)} \frac{\ln (x)}{x}$

ステップ 11.2

$\frac{\ln (x)}{x}$ と $6$ をまとめます。

$\frac{\ln (x) \cdot 6}{x} e^{\ln^{2} (x)}$

ステップ 11.3

$\frac{\ln (x) \cdot 6}{x}$ と $e^{\ln^{2} (x)}$ をまとめます。

$\frac{\ln (x) \cdot 6 e^{\ln^{2} (x)}}{x}$

ステップ 11.4

$6$ を $\ln (x)$ の左に移動させます。

$\frac{6 \cdot \ln (x) e^{\ln^{2} (x)}}{x}$

ステップ 12

分子を簡約します。

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ステップ 12.1

対数の中の $6$ を移動させて $6 \ln (x)$ を簡約します。

$\frac{\ln (x^{6}) e^{\ln^{2} (x)}}{x}$

ステップ 12.2

$\ln (x^{6}) e^{\ln^{2} (x)}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{6})}{x}$

微分積分 例

微分積分例