微分積分例

$f (x) = 5 \sqrt{x} \sin (x)$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{1}{2}} \sin (x)]$

ステップ 1.2

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{\frac{1}{2}} \sin (x)$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \sin (x)]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \sin (x)]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$5 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$5 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 4

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

ステップ 5

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$5 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

ステップ 6

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$5 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

ステップ 7

公分母の分子をまとめます。

$5 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

ステップ 8

分子を簡約します。

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ステップ 8.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$5 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

ステップ 8.2

$1$ から $2$ を引きます。

$5 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

ステップ 9

分数の前に負数を移動させます。

$5 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

ステップ 10

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$5 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

ステップ 11

$\sin (x)$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$5 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \frac{\sin (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

ステップ 12

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$5 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \frac{\sin (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

分配則を当てはめます。

$5 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x)) + 5 \frac{\sin (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 13.2

$5$ と $\frac{\sin (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$5 x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \frac{5 \sin (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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