微分積分例

$f (x) = 8 x^{2} \ln (8 x)$

ステップ 1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x^{2} \ln (8 x)$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (8 x)]$ です。

$8 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (8 x)]$

ステップ 2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \ln (8 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$8 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (8 x)] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 8 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $8 x$ とします。

$8 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [8 x]) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$8 (x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [8 x]) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $8 x$ で置き換えます。

$8 (x^{2} (\frac{1}{8 x} \frac{d}{d x} [8 x]) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{8 x}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$8 (\frac{x^{2}}{8 x} \frac{d}{d x} [8 x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.2

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$8 (\frac{x \cdot x}{8 x} \frac{d}{d x} [8 x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1

$x$ を $8 x$ で因数分解します。

$8 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 8} \frac{d}{d x} [8 x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.2.2.2

共通因数を約分します。

$8 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 8} \frac{d}{d x} [8 x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.2.2.3

式を書き換えます。

$8 (\frac{x}{8} \frac{d}{d x} [8 x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.3

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$8 (\frac{x}{8} (8 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.4

項を簡約します。

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ステップ 4.4.1

$8$ と $\frac{x}{8}$ をまとめます。

$8 (\frac{8 x}{8} \frac{d}{d x} [x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.4.2

$8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.2.1

共通因数を約分します。

$8 (\frac{8 x}{8} \frac{d}{d x} [x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.4.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$8 (x \frac{d}{d x} [x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 (x \cdot 1 + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.6

$x$ に $1$ をかけます。

$8 (x + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 (x + \ln (8 x) (2 x))$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$8 x + 8 (\ln (8 x) (2 x))$

ステップ 5.2

$2$ に $8$ をかけます。

$8 x + 16 \ln (8 x) x$

ステップ 5.3

項を並べ替えます。

$16 x \ln (8 x) + 8 x$

微分積分 例

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