微分積分例

$f (x) = 3 x e^{- 9 x^{2}}$

ステップ 1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x e^{- 9 x^{2}}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x e^{- 9 x^{2}}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x e^{- 9 x^{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{- 9 x^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$3 (x \frac{d}{d x} [e^{- 9 x^{2}}] + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 9 x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 9 x^{2}$ とします。

$3 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$3 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $- 9 x^{2}$ で置き換えます。

$3 (x (e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$- 9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 9 x^{2}$ の微分係数は $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 (x (e^{- 9 x^{2}} (- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (x (e^{- 9 x^{2}} (- 9 (2 x))) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.3

$2$ に $- 9$ をかけます。

$3 (x (e^{- 9 x^{2}} (- 18 x)) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5

$x$ を $1$ 乗します。

$3 (x^{1} x (e^{- 9 x^{2}} \cdot (- 18)) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 6

$x$ を $1$ 乗します。

$3 (x^{1} x^{1} (e^{- 9 x^{2}} \cdot (- 18)) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 (x^{1 + 1} (e^{- 9 x^{2}} \cdot (- 18)) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 8

式を簡約します。

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ステップ 8.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$3 (x^{2} (e^{- 9 x^{2}} \cdot (- 18)) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 8.2

$- 18$ を $e^{- 9 x^{2}}$ の左に移動させます。

$3 (x^{2} (- 18 \cdot e^{- 9 x^{2}}) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (x^{2} (- 18 e^{- 9 x^{2}}) + e^{- 9 x^{2}} \cdot 1)$

ステップ 10

$e^{- 9 x^{2}}$ に $1$ をかけます。

$3 (x^{2} (- 18 e^{- 9 x^{2}}) + e^{- 9 x^{2}})$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

分配則を当てはめます。

$3 (x^{2} (- 18 e^{- 9 x^{2}})) + 3 e^{- 9 x^{2}}$

ステップ 11.2

$- 18$ に $3$ をかけます。

$- 54 x^{2} e^{- 9 x^{2}} + 3 e^{- 9 x^{2}}$

ステップ 11.3

項を並べ替えます。

$- 54 e^{- 9 x^{2}} x^{2} + 3 e^{- 9 x^{2}}$

ステップ 11.4

$- 54 e^{- 9 x^{2}} x^{2} + 3 e^{- 9 x^{2}}$ の因数を並べ替えます。

$- 54 x^{2} e^{- 9 x^{2}} + 3 e^{- 9 x^{2}}$

微分積分 例

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