微分積分例

$f (x) = 3 x^{2} {(6 - 9 x)}^{4}$

ステップ 1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2} {(6 - 9 x)}^{4}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2} {(6 - 9 x)}^{4}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} {(6 - 9 x)}^{4}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = {(6 - 9 x)}^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(6 - 9 x)}^{4}] + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = 6 - 9 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $6 - 9 x$ とします。

$3 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [6 - 9 x]) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (x^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [6 - 9 x]) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $6 - 9 x$ で置き換えます。

$3 (x^{2} (4 {(6 - 9 x)}^{3} \frac{d}{d x} [6 - 9 x]) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

総和則では、 $6 - 9 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ です。

$3 (x^{2} (4 {(6 - 9 x)}^{3} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 9 x])) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.2

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$3 (x^{2} (4 {(6 - 9 x)}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- 9 x])) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ をたし算します。

$3 (x^{2} (4 {(6 - 9 x)}^{3} \frac{d}{d x} [- 9 x]) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.4

$- 9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 9 x$ の微分係数は $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 (x^{2} (4 {(6 - 9 x)}^{3} (- 9 \frac{d}{d x} [x])) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.5

$- 9$ に $4$ をかけます。

$3 (x^{2} (- 36 {(6 - 9 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (x^{2} (- 36 {(6 - 9 x)}^{3} \cdot 1) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.7

$- 36$ に $1$ をかけます。

$3 (x^{2} (- 36 {(6 - 9 x)}^{3}) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (x^{2} (- 36 {(6 - 9 x)}^{3}) + {(6 - 9 x)}^{4} (2 x))$

ステップ 4.9

$2$ を ${(6 - 9 x)}^{4}$ の左に移動させます。

$3 (x^{2} (- 36 {(6 - 9 x)}^{3}) + 2 \cdot {(6 - 9 x)}^{4} x)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$3 (x^{2} (- 36 {(6 - 9 x)}^{3})) + 3 (2 {(6 - 9 x)}^{4} x)$

ステップ 5.2

$- 36$ に $3$ をかけます。

$- 108 (x^{2} ({(6 - 9 x)}^{3})) + 3 (2 {(6 - 9 x)}^{4} x)$

ステップ 5.3

$2$ に $3$ をかけます。

$- 108 x^{2} {(6 - 9 x)}^{3} + 6 ({(6 - 9 x)}^{4} x)$

ステップ 5.4

$6 x {(6 - 9 x)}^{3}$ を $- 108 x^{2} {(6 - 9 x)}^{3} + 6 {(6 - 9 x)}^{4} x$ で因数分解します。

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ステップ 5.4.1

$6 x {(6 - 9 x)}^{3}$ を $- 108 x^{2} {(6 - 9 x)}^{3}$ で因数分解します。

$6 x {(6 - 9 x)}^{3} (- 18 x) + 6 {(6 - 9 x)}^{4} x$

ステップ 5.4.2

$6 x {(6 - 9 x)}^{3}$ を $6 {(6 - 9 x)}^{4} x$ で因数分解します。

$6 x {(6 - 9 x)}^{3} (- 18 x) + 6 x {(6 - 9 x)}^{3} (6 - 9 x)$

ステップ 5.4.3

$6 x {(6 - 9 x)}^{3}$ を $6 x {(6 - 9 x)}^{3} (- 18 x) + 6 x {(6 - 9 x)}^{3} (6 - 9 x)$ で因数分解します。

$6 x {(6 - 9 x)}^{3} (- 18 x + 6 - 9 x)$

ステップ 5.5

$- 18 x$ から $9 x$ を引きます。

$6 x {(6 - 9 x)}^{3} (- 27 x + 6)$

微分積分 例

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