微分積分例

$f (x) = 2 e^{x} + 5 x - \ln (x)$

ステップ 1

総和則では、 $2 e^{x} + 5 x - \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 e^{x}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$2 e^{x} + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [5 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 e^{x} + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 e^{x} + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 3.3

$5$ に $1$ をかけます。

$2 e^{x} + 5 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

ステップ 4

$\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \ln (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$2 e^{x} + 5 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 4.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$2 e^{x} + 5 - \frac{1}{x}$

ステップ 5

項を並べ替えます。

$- \frac{1}{x} + 2 e^{x} + 5$

微分積分 例