微分積分例

$f (x) = - 2 e^{- 5 x} + 15 x^{0.2} - 4$

ステップ 1

総和則では、 $- 2 e^{- 5 x} + 15 x^{0.2} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 2 e^{- 5 x}] + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\frac{d}{d x} [- 2 e^{- 5 x}] + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [- 2 e^{- 5 x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 e^{- 5 x}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ です。

$- 2 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}] + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 5 x$ とします。

$- 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 5 x]) + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 5 x]) + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $- 5 x$ で置き換えます。

$- 2 (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x]) + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.3

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 2 (e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 (e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.5

$- 5$ に $1$ をかけます。

$- 2 (e^{- 5 x} \cdot - 5) + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.6

$- 5$ を $e^{- 5 x}$ の左に移動させます。

$- 2 (- 5 \cdot e^{- 5 x}) + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.7

$- 5$ に $- 2$ をかけます。

$10 e^{- 5 x} + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [15 x^{0.2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$15$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $15 x^{0.2}$ の微分係数は $15 \frac{d}{d x} [x^{0.2}]$ です。

$10 e^{- 5 x} + 15 \frac{d}{d x} [x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 3.2

$n = 0.2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 e^{- 5 x} + 15 (0.2 x^{- 0.8}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 3.3

$0.2$ に $15$ をかけます。

$10 e^{- 5 x} + 3 x^{- 0.8} + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 4

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$10 e^{- 5 x} + 3 x^{- 0.8} + 0$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$10 e^{- 5 x} + 3 \frac{1}{x^{0.8}} + 0$

ステップ 5.2

項をまとめます。

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ステップ 5.2.1

$3$ と $\frac{1}{x^{0.8}}$ をまとめます。

$10 e^{- 5 x} + \frac{3}{x^{0.8}} + 0$

ステップ 5.2.2

$10 e^{- 5 x} + \frac{3}{x^{0.8}}$ と $0$ をたし算します。

$10 e^{- 5 x} + \frac{3}{x^{0.8}}$

微分積分 例

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