微分積分例

$f (x) = 10 x - 5 x^{3} + 3 x^{\frac{2}{3}}$

ステップ 1

総和則では、 $10 x - 5 x^{3} + 3 x^{\frac{2}{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [10 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $10 x$ の微分係数は $10 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 2.3

$10$ に $1$ をかけます。

$10 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x^{3}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$10 - 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 3.3

$3$ に $- 5$ をかけます。

$10 - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 4

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{\frac{2}{3}}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ です。

$10 - 15 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

ステップ 4.2

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 - 15 x^{2} + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

ステップ 4.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$10 - 15 x^{2} + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

ステップ 4.4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$10 - 15 x^{2} + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 4.5

公分母の分子をまとめます。

$10 - 15 x^{2} + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 4.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$10 - 15 x^{2} + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

ステップ 4.6.2

$2$ から $3$ を引きます。

$10 - 15 x^{2} + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

ステップ 4.7

分数の前に負数を移動させます。

$10 - 15 x^{2} + 3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

ステップ 4.8

$\frac{2}{3}$ と $x^{- \frac{1}{3}}$ をまとめます。

$10 - 15 x^{2} + 3 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 4.9

$3$ と $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ をまとめます。

$10 - 15 x^{2} + \frac{3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

ステップ 4.10

$2$ に $3$ をかけます。

$10 - 15 x^{2} + \frac{6 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 4.11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{3}}$ を分母に移動させます。

$10 - 15 x^{2} + \frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 4.12

$3$ を $6$ で因数分解します。

$10 - 15 x^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 4.13

共通因数を約分します。

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ステップ 4.13.1

$3$ を $3 x^{\frac{1}{3}}$ で因数分解します。

$10 - 15 x^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})}$

ステップ 4.13.2

共通因数を約分します。

$10 - 15 x^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 4.13.3

式を書き換えます。

$10 - 15 x^{2} + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 5

項を並べ替えます。

$- 15 x^{2} + 10 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$

微分積分 例

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