微分積分例

$f (x) = x e^{- \frac{x^{2}}{8}}$

ステップ 1

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{8}}] + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - \frac{x^{2}}{8}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- \frac{x^{2}}{8}$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{8}]) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{8}]) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $- \frac{x^{2}}{8}$ で置き換えます。

$x (e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{8}]) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$- \frac{1}{8}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{x^{2}}{8}$ の微分係数は $- \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$x (e^{- \frac{x^{2}}{8}} (- \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2

分数をまとめます。

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ステップ 3.2.1

$e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ と $\frac{1}{8}$ をまとめます。

$x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2.2

$x$ と $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{8}$ をまとめます。

$- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{8} (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.4

分数をまとめます。

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ステップ 3.4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{8} x + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.4.2

$- 2$ と $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{8}$ をまとめます。

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{8} x + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.4.3

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{8}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{8}}) x}{8} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 2 (x^{1} x e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{8} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1} e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{8} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{8} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 7.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{8} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.2

$- 2$ と $8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1

$2$ を $- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{8} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{2 (4)} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}})}{2 \cdot 4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}} \cdot 1$

ステップ 9

$e^{- \frac{x^{2}}{8}}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{8}}}{4} + e^{- \frac{x^{2}}{8}}$

微分積分 例

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