微分積分例

$f (x) = \frac{x - 7}{x^{2}}$

ステップ 1

$f (x) = x - 7$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x - 7] - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x - 7] - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x - 7] - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.2

総和則では、 $x - 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ です。

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.4

$- 7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 7$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{2} (1 + 0) - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.5

式を簡約します。

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ステップ 2.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2} \cdot 1 - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.5.2

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} - (x - 7) (2 x)}{x^{4}}$

ステップ 2.7

くくりだして簡約します。

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ステップ 2.7.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 2 (x - 7) x}{x^{4}}$

ステップ 2.7.2

$x$ を $x^{2} - 2 (x - 7) x$ で因数分解します。

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ステップ 2.7.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x - 2 (x - 7) x}{x^{4}}$

ステップ 2.7.2.2

$x$ を $- 2 (x - 7) x$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x + x (- 2 (x - 7))}{x^{4}}$

ステップ 2.7.2.3

$x$ を $x \cdot x + x (- 2 (x - 7))$ で因数分解します。

$\frac{x (x - 2 (x - 7))}{x^{4}}$

ステップ 3

共通因数を約分します。

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ステップ 3.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x (x - 2 (x - 7))}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 3.2

共通因数を約分します。

$\frac{x (x - 2 (x - 7))}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 3.3

式を書き換えます。

$\frac{x - 2 (x - 7)}{x^{3}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x - 2 x - 2 \cdot - 7}{x^{3}}$

ステップ 4.2

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$- 2$ に $- 7$ をかけます。

$\frac{x - 2 x + 14}{x^{3}}$

ステップ 4.2.2

$x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{- x + 14}{x^{3}}$

ステップ 4.3

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{- (x) + 14}{x^{3}}$

ステップ 4.4

$14$ を $- 1 (- 14)$ に書き換えます。

$\frac{- (x) - 1 (- 14)}{x^{3}}$

ステップ 4.5

$- 1$ を $- (x) - 1 (- 14)$ で因数分解します。

$\frac{- (x - 14)}{x^{3}}$

ステップ 4.6

$- (x - 14)$ を $- 1 (x - 14)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (x - 14)}{x^{3}}$

ステップ 4.7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x - 14}{x^{3}}$

微分積分 例

微分積分例