微分積分例

$f (x) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [a x^{4}] + \frac{d}{d x} [b x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$ です。

$\frac{d}{d x} [a x^{4}] + \frac{d}{d x} [b x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [a x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$a$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $a x^{4}$ の微分係数は $a \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$a \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [b x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

ステップ 1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$a (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [b x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

ステップ 1.2.3

$4$ を $a$ の左に移動させます。

$4 a x^{3} + \frac{d}{d x} [b x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [b x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$b$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $b x^{3}$ の微分係数は $b \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 a x^{3} + b \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

ステップ 1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 a x^{3} + b (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

ステップ 1.3.3

$3$ を $b$ の左に移動させます。

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d x} [c x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$c$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $c x^{2}$ の微分係数は $c \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + c \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

ステップ 1.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + c (2 x) + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

ステップ 1.4.3

$2$ を $c$ の左に移動させます。

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

ステップ 1.5

$\frac{d}{d x} [d x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$d$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $d x$ の微分係数は $d \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e]$

ステップ 1.5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e]$

ステップ 1.5.3

$d$ に $1$ をかけます。

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d + \frac{d}{d x} [e]$

ステップ 1.6

$e$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $e$ の微分係数は $0$ です。

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d + 0$

ステップ 1.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d$ と $0$ をたし算します。

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d$

ステップ 1.7.2

項を並べ替えます。

$d + 4 x^{3} a + 3 x^{2} b + 2 c x$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $d + 4 x^{3} a + 3 x^{2} b + 2 c x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [d] + \frac{d}{d x} [4 x^{3} a] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} b] + \frac{d}{d x} [2 c x]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (d) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} a) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} b) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

ステップ 2.1.2

$d$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $d$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (4 x^{3} a) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} b) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3} a]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$4 a$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3} a$ の微分係数は $4 a \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = 0 + 4 a \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} b) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

ステップ 2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 0 + 4 a (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} b) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

ステップ 2.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2} b) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} b]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$3 b$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2} b$ の微分係数は $3 b \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 3 b \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 3 b (2 x) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

ステップ 2.3.3

$2$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 6 b x + \frac{d}{d x} (2 c x)$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [2 c x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

$2 c$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 c x$ の微分係数は $2 c \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 6 b x + 2 c \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 6 b x + 2 c \cdot 1$

ステップ 2.4.3

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 6 b x + 2 c$

ステップ 2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$0$ と $12 a x^{2}$ をたし算します。

$f'' (x) = 12 a x^{2} + 6 b x + 2 c$

ステップ 2.5.2

項を並べ替えます。

$f'' (x) = 2 c + 12 x^{2} a + 6 b x$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$d + 4 x^{3} a + 3 x^{2} b + 2 c x = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

総和則では、 $a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e$ の $a$ に関する積分は $\frac{d}{d a} [a x^{4}] + \frac{d}{d a} [b x^{3}] + \frac{d}{d a} [c x^{2}] + \frac{d}{d a} [d x] + \frac{d}{d a} [e]$ です。

$f' (a) = \frac{d}{d a} (a x^{4}) + \frac{d}{d a} (b x^{3}) + \frac{d}{d a} (c x^{2}) + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d a} [a x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$x^{4}$ は $a$ に対して定数なので、 $a$ に対する $a x^{4}$ の微分係数は $x^{4} \frac{d}{d a} [a]$ です。

$f' (a) = x^{4} \frac{d}{d a} (a) + \frac{d}{d a} (b x^{3}) + \frac{d}{d a} (c x^{2}) + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

ステップ 4.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ は $n a^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (a) = x^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d a} (b x^{3}) + \frac{d}{d a} (c x^{2}) + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

ステップ 4.1.2.3

$x^{4}$ に $1$ をかけます。

$f' (a) = x^{4} + \frac{d}{d a} (b x^{3}) + \frac{d}{d a} (c x^{2}) + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

ステップ 4.1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.1.3.1

$b x^{3}$ は $a$ について定数なので、 $a$ について $b x^{3}$ の微分係数は $0$ です。

$f' (a) = x^{4} + 0 + \frac{d}{d a} (c x^{2}) + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

ステップ 4.1.3.2

$c x^{2}$ は $a$ について定数なので、 $a$ について $c x^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$f' (a) = x^{4} + 0 + 0 + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

ステップ 4.1.3.3

$d x$ は $a$ について定数なので、 $a$ について $d x$ の微分係数は $0$ です。

$f' (a) = x^{4} + 0 + 0 + 0 + \frac{d}{d a} (e)$

ステップ 4.1.3.4

$e$ は $a$ について定数なので、 $a$ について $e$ の微分係数は $0$ です。

$f' (a) = x^{4} + 0 + 0 + 0 + 0$

ステップ 4.1.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$x^{4}$ と $0$ をたし算します。

$f' (a) = x^{4} + 0 + 0 + 0$

ステップ 4.1.4.2

$x^{4}$ と $0$ をたし算します。

$f' (a) = x^{4} + 0 + 0$

ステップ 4.1.4.3

$x^{4}$ と $0$ をたし算します。

$f' (a) = x^{4} + 0$

ステップ 4.1.4.4

$x^{4}$ と $0$ をたし算します。

$f' (a) = x^{4}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $x^{4}$ です。

$x^{4}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $x^{4} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$x^{4} = 0$

ステップ 5.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

ステップ 5.3

$\pm \sqrt[4]{0}$ を簡約します。

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ステップ 5.3.1

$0$ を $0^{4}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

ステップ 5.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 5.3.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$2 c + 12 {(0)}^{2} a + 6 b (0)$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

各項を簡約します。

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ステップ 9.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$2 c + 12 \cdot 0 a + 6 b (0)$

ステップ 9.1.2

$12$ に $0$ をかけます。

$2 c + 0 a + 6 b (0)$

ステップ 9.1.3

$0$ に $a$ をかけます。

$2 c + 0 + 6 b (0)$

ステップ 9.1.4

$6 b (0)$ を掛けます。

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ステップ 9.1.4.1

$0$ に $6$ をかけます。

$2 c + 0 + 0 b$

ステップ 9.1.4.2

$0$ に $b$ をかけます。

$2 c + 0 + 0$

ステップ 9.2

$2 c + 0 + 0$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 9.2.1

$2 c$ と $0$ をたし算します。

$2 c + 0$

ステップ 9.2.2

$2 c$ と $0$ をたし算します。

$2 c$

ステップ 10

一次導関数検定ができなかったので、極値はありません。

極値がありません

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例