微分積分例

$f (x) = \frac{7 x^{2} + 28}{x^{4} - 16}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = 7 x^{2} + 28$ および $g (x) = x^{4} - 16$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{4} - 16) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 28] - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $7 x^{2} + 28$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [28]$ です。

$\frac{(x^{4} - 16) (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [28]) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.2.2

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x^{2}$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{(x^{4} - 16) (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [28]) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{4} - 16) (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [28]) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.2.4

$2$ に $7$ をかけます。

$\frac{(x^{4} - 16) (14 x + \frac{d}{d x} [28]) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.2.5

$28$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $28$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x^{4} - 16) (14 x + 0) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

$14 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x^{4} - 16) (14 x) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.2.6.2

$14$ を $x^{4} - 16$ の左に移動させます。

$\frac{14 \cdot (x^{4} - 16) x - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.2.7

総和則では、 $x^{4} - 16$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ です。

$\frac{14 (x^{4} - 16) x - (7 x^{2} + 28) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.2.8

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{14 (x^{4} - 16) x - (7 x^{2} + 28) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.2.9

$- 16$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 16$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{14 (x^{4} - 16) x - (7 x^{2} + 28) (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.2.10

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.10.1

$4 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{14 (x^{4} - 16) x - (7 x^{2} + 28) (4 x^{3})}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.2.10.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{14 (x^{4} - 16) x - 4 (7 x^{2} + 28) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(14 x^{4} + 14 \cdot - 16) x - 4 (7 x^{2} + 28) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{14 x^{4} x + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2} + 28) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{14 x^{4} x + 14 \cdot - 16 x + (- 4 (7 x^{2}) - 4 \cdot 28) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.3.4

分配則を当てはめます。

$\frac{14 x^{4} x + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.3.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1.1

指数を足して $x^{4}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{14 (x \cdot x^{4}) + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.3.5.1.1.2

$x$ に $x^{4}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{14 (x^{1} x^{4}) + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.3.5.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{14 x^{1 + 4} + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.3.5.1.1.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$\frac{14 x^{5} + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.3.5.1.2

$14$ に $- 16$ をかけます。

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.3.5.1.3

指数を足して $x^{2}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1.3.1

$x^{3}$ を移動させます。

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 4 (7 (x^{3} x^{2})) - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.3.5.1.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 4 (7 x^{3 + 2}) - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.3.5.1.3.3

$3$ と $2$ をたし算します。

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 4 (7 x^{5}) - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.3.5.1.4

$7$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 28 x^{5} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.3.5.1.5

$- 4$ に $28$ をかけます。

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 28 x^{5} - 112 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.3.5.2

$14 x^{5}$ から $28 x^{5}$ を引きます。

$\frac{- 14 x^{5} - 224 x - 112 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.3.6

項を並べ替えます。

$\frac{- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = - 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x$ および $g (x) = {(x^{4} - 16)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{({(x^{4} - 16)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

${({(x^{4} - 16)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.2

総和則では、 $- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 14 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 112 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 224 x]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 14 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 112 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 224 x)) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.3

$- 14$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 14 x^{5}$ の微分係数は $- 14 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 14 \frac{d}{d x} x^{5} + \frac{d}{d x} (- 112 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 224 x)) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.4

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 14 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 112 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 224 x)) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5

$5$ に $- 14$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 112 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 224 x)) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.6

$- 112$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 112 x^{3}$ の微分係数は $- 112 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 112 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 224 x)) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.7

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 112 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 224 x)) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.8

$3$ に $- 112$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 336 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 224 x)) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.9

$- 224$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 224 x$ の微分係数は $- 224 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224 \frac{d}{d x} x) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224 \cdot 1) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.11

$- 224$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{4} - 16$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{4} - 16$ とします。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (2 u \frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{4} - 16$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (2 (x^{4} - 16) \frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.4

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) ((x^{4} - 16) \frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.4.2

$x^{4} - 16$ を ${(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) ((x^{4} - 16) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$x^{4} - 16$ を ${(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) ((x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224)) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) ((x^{4} - 16) \frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.4.2.2

$x^{4} - 16$ を $- 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) ((x^{4} - 16) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) ((x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224)) + (x^{4} - 16) (- 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (\frac{d}{d x} (x^{4} - 16)))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.4.2.3

$x^{4} - 16$ を $(x^{4} - 16) ((x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224)) + (x^{4} - 16) (- 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (\frac{d}{d x} [x^{4} - 16]))$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) ((x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (\frac{d}{d x} (x^{4} - 16)))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

ステップ 2.5

共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.1

$x^{4} - 16$ を ${(x^{4} - 16)}^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) ((x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (\frac{d}{d x} (x^{4} - 16)))}{(x^{4} - 16) {(x^{4} - 16)}^{3}}$

ステップ 2.5.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) ((x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (\frac{d}{d x} (x^{4} - 16)))}{(x^{4} - 16) {(x^{4} - 16)}^{3}}$

ステップ 2.5.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (\frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

ステップ 2.6

総和則では、 $x^{4} - 16$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ です。

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

ステップ 2.7

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

ステップ 2.8

$- 16$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 16$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

ステップ 2.9

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.1

$4 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (4 x^{3})}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

ステップ 2.9.2

$4$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 8 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

ステップ 2.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) + (- 8 (- 14 x^{5}) - 8 (- 112 x^{3}) - 8 (- 224 x)) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

ステップ 2.10.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

ステップ 2.10.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.3.1.1

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224)$ を展開します。

$f'' (x) = \frac{x^{4} (- 70 x^{4}) + x^{4} (- 336 x^{2}) + x^{4} \cdot - 224 - 16 (- 70 x^{4}) - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

ステップ 2.10.3.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.3.1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{4} x^{4} + x^{4} (- 336 x^{2}) + x^{4} \cdot - 224 - 16 (- 70 x^{4}) - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

ステップ 2.10.3.1.2.2

指数を足して $x^{4}$ に $x^{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.3.1.2.2.1

$x^{4}$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 70 (x^{4} x^{4}) + x^{4} (- 336 x^{2}) + x^{4} \cdot - 224 - 16 (- 70 x^{4}) - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

ステップ 2.10.3.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{4 + 4} + x^{4} (- 336 x^{2}) + x^{4} \cdot - 224 - 16 (- 70 x^{4}) - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

ステップ 2.10.3.1.2.2.3

$4$ と $4$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} + x^{4} (- 336 x^{2}) + x^{4} \cdot - 224 - 16 (- 70 x^{4}) - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

ステップ 2.10.3.1.2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{4} x^{2} + x^{4} \cdot - 224 - 16 (- 70 x^{4}) - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

ステップ 2.10.3.1.2.4

指数を足して $x^{4}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.3.1.2.4.1

$x^{2}$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 (x^{2} x^{4}) + x^{4} \cdot - 224 - 16 (- 70 x^{4}) - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

ステップ 2.10.3.1.2.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{2 + 4} + x^{4} \cdot - 224 - 16 (- 70 x^{4}) - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

ステップ 2.10.3.1.2.4.3

$2$ と $4$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + x^{4} \cdot - 224 - 16 (- 70 x^{4}) - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

ステップ 2.10.3.1.2.5

$- 224$ を $x^{4}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} - 224 \cdot x^{4} - 16 (- 70 x^{4}) - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

ステップ 2.10.3.1.2.6

$- 70$ に $- 16$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} - 224 x^{4} + 1120 x^{4} - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

ステップ 2.10.3.1.2.7

$- 336$ に $- 16$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} - 224 x^{4} + 1120 x^{4} + 5376 x^{2} - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

ステップ 2.10.3.1.2.8

$- 16$ に $- 224$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} - 224 x^{4} + 1120 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

ステップ 2.10.3.1.3

$- 224 x^{4}$ と $1120 x^{4}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

ステップ 2.10.3.1.4

指数を足して $x^{5}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.3.1.4.1

$x^{3}$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 - 8 (- 14 (x^{3} x^{5})) - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

ステップ 2.10.3.1.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 - 8 (- 14 x^{3 + 5}) - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

ステップ 2.10.3.1.4.3

$3$ と $5$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 - 8 (- 14 x^{8}) - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

ステップ 2.10.3.1.5

$- 14$ に $- 8$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 112 x^{8} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

ステップ 2.10.3.1.6

指数を足して $x^{3}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.3.1.6.1

$x^{3}$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 112 x^{8} - 8 (- 112 (x^{3} x^{3})) - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

ステップ 2.10.3.1.6.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 112 x^{8} - 8 (- 112 x^{3 + 3}) - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

ステップ 2.10.3.1.6.3

$3$ と $3$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 112 x^{8} - 8 (- 112 x^{6}) - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

ステップ 2.10.3.1.7

$- 112$ に $- 8$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 112 x^{8} + 896 x^{6} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

ステップ 2.10.3.1.8

指数を足して $x$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.3.1.8.1

$x^{3}$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 112 x^{8} + 896 x^{6} - 8 (- 224 (x^{3} x))}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

ステップ 2.10.3.1.8.2

$x^{3}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.3.1.8.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 112 x^{8} + 896 x^{6} - 8 (- 224 (x^{3} x))}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

ステップ 2.10.3.1.8.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 112 x^{8} + 896 x^{6} - 8 (- 224 x^{3 + 1})}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

ステップ 2.10.3.1.8.3

$3$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 112 x^{8} + 896 x^{6} - 8 (- 224 x^{4})}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

ステップ 2.10.3.1.9

$- 224$ に $- 8$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 112 x^{8} + 896 x^{6} + 1792 x^{4}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

ステップ 2.10.3.2

$- 70 x^{8}$ と $112 x^{8}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{42 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 896 x^{6} + 1792 x^{4}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

ステップ 2.10.3.3

$- 336 x^{6}$ と $896 x^{6}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{42 x^{8} + 560 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 1792 x^{4}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

ステップ 2.10.3.4

$896 x^{4}$ と $1792 x^{4}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{42 x^{8} + 560 x^{6} + 2688 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

ステップ 2.10.4

$14$ を $42 x^{8} + 560 x^{6} + 2688 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.4.1

$14$ を $42 x^{8}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8}) + 560 x^{6} + 2688 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

ステップ 2.10.4.2

$14$ を $560 x^{6}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8}) + 14 (40 x^{6}) + 2688 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

ステップ 2.10.4.3

$14$ を $2688 x^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8}) + 14 (40 x^{6}) + 14 (192 x^{4}) + 5376 x^{2} + 3584}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

ステップ 2.10.4.4

$14$ を $5376 x^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8}) + 14 (40 x^{6}) + 14 (192 x^{4}) + 14 (384 x^{2}) + 3584}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

ステップ 2.10.4.5

$14$ を $3584$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8}) + 14 (40 x^{6}) + 14 (192 x^{4}) + 14 (384 x^{2}) + 14 (256)}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

ステップ 2.10.4.6

$14$ を $14 (3 x^{8}) + 14 (40 x^{6})$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6}) + 14 (192 x^{4}) + 14 (384 x^{2}) + 14 (256)}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

ステップ 2.10.4.7

$14$ を $14 (3 x^{8} + 40 x^{6}) + 14 (192 x^{4})$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4}) + 14 (384 x^{2}) + 14 (256)}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

ステップ 2.10.4.8

$14$ を $14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4}) + 14 (384 x^{2})$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2}) + 14 (256)}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

ステップ 2.10.4.9

$14$ を $14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2}) + 14 (256)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

ステップ 2.10.5

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.5.1

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{({(x^{2})}^{2} - 16)}^{3}}$

ステップ 2.10.5.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{({(x^{2})}^{2} - 4^{2})}^{3}}$

ステップ 2.10.5.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x^{2}$ であり、 $b = 4$ です。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{((x^{2} + 4) (x^{2} - 4))}^{3}}$

ステップ 2.10.5.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.5.4.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}))}^{3}}$

ステップ 2.10.5.4.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2))}^{3}}$

ステップ 2.10.5.5

積の法則を $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ に当てはめます。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{((x^{2} + 4) (x + 2))}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

ステップ 2.10.5.6

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{2} + 4) (x + 2)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.5.6.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x^{2} (x + 2) + 4 (x + 2))}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

ステップ 2.10.5.6.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 4 (x + 2))}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

ステップ 2.10.5.6.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

ステップ 2.10.5.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.5.7.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.5.7.1.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.5.7.1.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

ステップ 2.10.5.7.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

ステップ 2.10.5.7.1.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x^{3} + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

ステップ 2.10.5.7.2

$2$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x^{3} + 2 \cdot x^{2} + 4 x + 4 \cdot 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

ステップ 2.10.5.7.3

$4$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 8)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

ステップ 2.10.5.8

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.5.8.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{((x^{3} + 2 x^{2}) + 4 x + 8)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

ステップ 2.10.5.8.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x^{2} (x + 2) + 4 (x + 2))}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

ステップ 2.10.5.9

最大公約数 $x + 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{((x + 2) (x^{2} + 4))}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

ステップ 2.10.5.10

積の法則を $(x + 2) (x^{2} + 4)$ に当てはめます。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\frac{(x^{4} - 16) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 28] - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 4.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

総和則では、 $7 x^{2} + 28$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [28]$ です。

$\frac{(x^{4} - 16) (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [28]) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.2

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x^{2}$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{(x^{4} - 16) (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [28]) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{4} - 16) (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [28]) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.4

$2$ に $7$ をかけます。

$\frac{(x^{4} - 16) (14 x + \frac{d}{d x} [28]) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.5

$28$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $28$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x^{4} - 16) (14 x + 0) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.6.1

$14 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x^{4} - 16) (14 x) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.6.2

$14$ を $x^{4} - 16$ の左に移動させます。

$\frac{14 \cdot (x^{4} - 16) x - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.7

総和則では、 $x^{4} - 16$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ です。

$\frac{14 (x^{4} - 16) x - (7 x^{2} + 28) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.8

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{14 (x^{4} - 16) x - (7 x^{2} + 28) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.9

$- 16$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 16$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{14 (x^{4} - 16) x - (7 x^{2} + 28) (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.10

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.10.1

$4 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{14 (x^{4} - 16) x - (7 x^{2} + 28) (4 x^{3})}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.10.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{14 (x^{4} - 16) x - 4 (7 x^{2} + 28) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 4.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(14 x^{4} + 14 \cdot - 16) x - 4 (7 x^{2} + 28) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{14 x^{4} x + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2} + 28) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{14 x^{4} x + 14 \cdot - 16 x + (- 4 (7 x^{2}) - 4 \cdot 28) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.4

分配則を当てはめます。

$\frac{14 x^{4} x + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.5.1.1

指数を足して $x^{4}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.5.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{14 (x \cdot x^{4}) + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.5.1.1.2

$x$ に $x^{4}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.5.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{14 (x^{1} x^{4}) + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.5.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{14 x^{1 + 4} + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.5.1.1.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$\frac{14 x^{5} + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.5.1.2

$14$ に $- 16$ をかけます。

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.5.1.3

指数を足して $x^{2}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.5.1.3.1

$x^{3}$ を移動させます。

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 4 (7 (x^{3} x^{2})) - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.5.1.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 4 (7 x^{3 + 2}) - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.5.1.3.3

$3$ と $2$ をたし算します。

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 4 (7 x^{5}) - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.5.1.4

$7$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 28 x^{5} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.5.1.5

$- 4$ に $28$ をかけます。

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 28 x^{5} - 112 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.5.2

$14 x^{5}$ から $28 x^{5}$ を引きます。

$\frac{- 14 x^{5} - 224 x - 112 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.6

項を並べ替えます。

$f' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ です。

$\frac{- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$

ステップ 5.2

分子を0に等しくします。

$- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x = 0$

ステップ 5.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

$- 14 x$ を $- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1.1

$- 14 x$ を $- 14 x^{5}$ で因数分解します。

$- 14 x \cdot x^{4} - 112 x^{3} - 224 x = 0$

ステップ 5.3.1.1.2

$- 14 x$ を $- 112 x^{3}$ で因数分解します。

$- 14 x \cdot x^{4} - 14 x (8 x^{2}) - 224 x = 0$

ステップ 5.3.1.1.3

$- 14 x$ を $- 224 x$ で因数分解します。

$- 14 x \cdot x^{4} - 14 x (8 x^{2}) - 14 x \cdot 16 = 0$

ステップ 5.3.1.1.4

$- 14 x$ を $- 14 x (x^{4}) - 14 x (8 x^{2})$ で因数分解します。

$- 14 x (x^{4} + 8 x^{2}) - 14 x \cdot 16 = 0$

ステップ 5.3.1.1.5

$- 14 x$ を $- 14 x (x^{4} + 8 x^{2}) - 14 x (16)$ で因数分解します。

$- 14 x (x^{4} + 8 x^{2} + 16) = 0$

ステップ 5.3.1.2

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$- 14 x ({(x^{2})}^{2} + 8 x^{2} + 16) = 0$

ステップ 5.3.1.3

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$- 14 x (u^{2} + 8 u + 16) = 0$

ステップ 5.3.1.4

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.4.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$- 14 x (u^{2} + 8 u + 4^{2}) = 0$

ステップ 5.3.1.4.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$8 u = 2 \cdot u \cdot 4$

ステップ 5.3.1.4.3

多項式を書き換えます。

$- 14 x (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

ステップ 5.3.1.4.4

$a = u$ と $b = 4$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$- 14 x {(u + 4)}^{2} = 0$

ステップ 5.3.1.5

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$- 14 x {(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

ステップ 5.3.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

ステップ 5.3.3

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 5.3.4

${(x^{2} + 4)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

${(x^{2} + 4)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

ステップ 5.3.4.2

$x$ について ${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.2.1

$x^{2} + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 4 = 0$

ステップ 5.3.4.2.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.2.2.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x^{2} = - 4$

ステップ 5.3.4.2.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- 4}$

ステップ 5.3.4.2.2.3

$\pm \sqrt{- 4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.2.2.3.1

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

ステップ 5.3.4.2.2.3.2

$\sqrt{- 1 (4)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

ステップ 5.3.4.2.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

ステップ 5.3.4.2.2.3.4

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

ステップ 5.3.4.2.2.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \cdot 2$

ステップ 5.3.4.2.2.3.6

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \pm 2 i$

ステップ 5.3.4.2.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.2.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2 i$

ステップ 5.3.4.2.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2 i$

ステップ 5.3.4.2.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2 i, - 2 i$

ステップ 5.3.5

最終解は $- 14 x {(x^{2} + 4)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 2 i, - 2 i$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\frac{- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x^{4} - 16)}^{2} = 0$

ステップ 6.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

${({(x^{2})}^{2} - 16)}^{2} = 0$

ステップ 6.2.1.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

${({(x^{2})}^{2} - 4^{2})}^{2} = 0$

ステップ 6.2.1.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x^{2}$ であり、 $b = 4$ です。

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 4))}^{2} = 0$

ステップ 6.2.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.4.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}))}^{2} = 0$

ステップ 6.2.1.4.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.4.2.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

${((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)))}^{2} = 0$

ステップ 6.2.1.4.2.2

不要な括弧を削除します。

${((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

ステップ 6.2.1.5

積の法則を $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ に当てはめます。

${((x^{2} + 4) (x + 2))}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 6.2.1.6

積の法則を $(x^{2} + 4) (x + 2)$ に当てはめます。

${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 6.2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 6.2.3

${(x^{2} + 4)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

${(x^{2} + 4)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

ステップ 6.2.3.2

$x$ について ${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.2.1

$x^{2} + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 4 = 0$

ステップ 6.2.3.2.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.2.2.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x^{2} = - 4$

ステップ 6.2.3.2.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- 4}$

ステップ 6.2.3.2.2.3

$\pm \sqrt{- 4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.2.2.3.1

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

ステップ 6.2.3.2.2.3.2

$\sqrt{- 1 (4)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

ステップ 6.2.3.2.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

ステップ 6.2.3.2.2.3.4

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

ステップ 6.2.3.2.2.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \cdot 2$

ステップ 6.2.3.2.2.3.6

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \pm 2 i$

ステップ 6.2.3.2.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.2.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2 i$

ステップ 6.2.3.2.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2 i$

ステップ 6.2.3.2.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2 i, - 2 i$

ステップ 6.2.4

${(x + 2)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.4.1

${(x + 2)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x + 2)}^{2} = 0$

ステップ 6.2.4.2

$x$ について ${(x + 2)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.4.2.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 6.2.4.2.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 6.2.5

${(x - 2)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.5.1

${(x - 2)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 6.2.5.2

$x$ について ${(x - 2)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.5.2.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 6.2.5.2.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 6.2.6

最終解は ${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2 i, - 2 i, - 2, 2$

ステップ 6.3

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x = - 2, x = 2$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{14 (3 {(0)}^{8} + 40 {(0)}^{6} + 192 {(0)}^{4} + 384 {(0)}^{2} + 256)}{{((0) + 2)}^{3} {({(0)}^{2} + 4)}^{3} {((0) - 2)}^{3}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{14 (3 \cdot 0 + 40 \cdot 0^{6} + 192 \cdot 0^{4} + 384 \cdot 0^{2} + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

ステップ 9.1.2

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{14 (0 + 40 \cdot 0^{6} + 192 \cdot 0^{4} + 384 \cdot 0^{2} + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

ステップ 9.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{14 (0 + 40 \cdot 0 + 192 \cdot 0^{4} + 384 \cdot 0^{2} + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

ステップ 9.1.4

$40$ に $0$ をかけます。

$\frac{14 (0 + 0 + 192 \cdot 0^{4} + 384 \cdot 0^{2} + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

ステップ 9.1.5

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{14 (0 + 0 + 192 \cdot 0 + 384 \cdot 0^{2} + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

ステップ 9.1.6

$192$ に $0$ をかけます。

$\frac{14 (0 + 0 + 0 + 384 \cdot 0^{2} + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

ステップ 9.1.7

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{14 (0 + 0 + 0 + 384 \cdot 0 + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

ステップ 9.1.8

$384$ に $0$ をかけます。

$\frac{14 (0 + 0 + 0 + 0 + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

ステップ 9.1.9

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{14 (0 + 0 + 0 + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

ステップ 9.1.10

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{14 (0 + 0 + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

ステップ 9.1.11

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{14 (0 + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

ステップ 9.1.12

$0$ と $256$ をたし算します。

$\frac{14 \cdot 256}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

ステップ 9.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$0$ を $- 1 (0)$ に書き換えます。

$\frac{14 \cdot 256}{{(- 1 (0) + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

ステップ 9.2.2

$2$ を $- 1 (- 2)$ に書き換えます。

$\frac{14 \cdot 256}{{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

ステップ 9.2.3

$- 1$ を $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 2$ で因数分解します。

$\frac{14 \cdot 256}{{(- 1 \cdot (0 - 2))}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

ステップ 9.2.4

積の法則を $- 1 \cdot (0 - 2)$ に当てはめます。

$\frac{14 \cdot 256}{{(- 1)}^{3} \cdot {(0 - 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

ステップ 9.2.5

$- 1$ を $3$ 乗します。

$\frac{14 \cdot 256}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

ステップ 9.2.6

指数を足して ${(0 - 2)}^{3}$ に ${(0 - 2)}^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.6.1

${(0 - 2)}^{3}$ を移動させます。

$\frac{14 \cdot 256}{- 1 \cdot ({(0 - 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3}) {(0^{2} + 4)}^{3}}$

ステップ 9.2.6.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{14 \cdot 256}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{3 + 3} {(0^{2} + 4)}^{3}}$

ステップ 9.2.6.3

$3$ と $3$ をたし算します。

$\frac{14 \cdot 256}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{6} {(0^{2} + 4)}^{3}}$

ステップ 9.3

$14$ に $256$ をかけます。

$\frac{3584}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{6} {(0^{2} + 4)}^{3}}$

ステップ 9.4

分母を簡約します。

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ステップ 9.4.1

$0$ から $2$ を引きます。

$\frac{3584}{- 1 \cdot {(- 2)}^{6} {(0^{2} + 4)}^{3}}$

ステップ 9.4.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{3584}{- 1 \cdot {(- 2)}^{6} {(0 + 4)}^{3}}$

ステップ 9.4.3

$0$ と $4$ をたし算します。

$\frac{3584}{- 1 \cdot {(- 2)}^{6} \cdot 4^{3}}$

ステップ 9.4.4

指数をまとめます。

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ステップ 9.4.4.1

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$\frac{3584}{- 1 \cdot {(- 1 (2))}^{6} \cdot 4^{3}}$

ステップ 9.4.4.2

積の法則を $- 1 (2)$ に当てはめます。

$\frac{3584}{- 1 \cdot ({(- 1)}^{6} \cdot 2^{6}) \cdot 4^{3}}$

ステップ 9.4.4.3

$- 1$ を $6$ 乗します。

$\frac{3584}{- 1 \cdot (1 \cdot 2^{6}) \cdot 4^{3}}$

ステップ 9.4.4.4

$2^{6}$ に $1$ をかけます。

$\frac{3584}{- 1 \cdot 2^{6} \cdot 4^{3}}$

ステップ 9.4.4.5

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3584}{- 1 \cdot ({(2^{2})}^{3} \cdot 2^{6})}$

ステップ 9.4.4.6

${(2^{2})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.4.6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{3584}{- 1 \cdot (2^{2 \cdot 3} \cdot 2^{6})}$

ステップ 9.4.4.6.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{3584}{- 1 \cdot (2^{6} \cdot 2^{6})}$

ステップ 9.4.4.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3584}{- 1 \cdot 2^{6 + 6}}$

ステップ 9.4.4.8

$6$ と $6$ をたし算します。

$\frac{3584}{- 1 \cdot 2^{12}}$

ステップ 9.4.5

$2$ を $12$ 乗します。

$\frac{3584}{- 1 \cdot 4096}$

ステップ 9.5

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 9.5.1

$- 1$ に $4096$ をかけます。

$\frac{3584}{- 4096}$

ステップ 9.5.2

$3584$ と $- 4096$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.5.2.1

$512$ を $3584$ で因数分解します。

$\frac{512 (7)}{- 4096}$

ステップ 9.5.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.5.2.2.1

$512$ を $- 4096$ で因数分解します。

$\frac{512 \cdot 7}{512 \cdot - 8}$

ステップ 9.5.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{512 \cdot 7}{512 \cdot - 8}$

ステップ 9.5.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{7}{- 8}$

ステップ 9.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{7}{8}$

ステップ 10

$x = 0$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極大値です

ステップ 11

$x = 0$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \frac{7 {(0)}^{2} + 28}{{(0)}^{4} - 16}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 11.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = \frac{7 \cdot 0 + 28}{0^{4} - 16}$

ステップ 11.2.1.2

$7$ に $0$ をかけます。

$f (0) = \frac{0 + 28}{0^{4} - 16}$

ステップ 11.2.1.3

$0$ と $28$ をたし算します。

$f (0) = \frac{28}{0^{4} - 16}$

ステップ 11.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = \frac{28}{0 - 16}$

ステップ 11.2.2.2

$0$ から $16$ を引きます。

$f (0) = \frac{28}{- 16}$

ステップ 11.2.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.3.1

$28$ と $- 16$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.3.1.1

$4$ を $28$ で因数分解します。

$f (0) = \frac{4 (7)}{- 16}$

ステップ 11.2.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.3.1.2.1

$4$ を $- 16$ で因数分解します。

$f (0) = \frac{4 \cdot 7}{4 \cdot - 4}$

ステップ 11.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$f (0) = \frac{4 \cdot 7}{4 \cdot - 4}$

ステップ 11.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$f (0) = \frac{7}{- 4}$

ステップ 11.2.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (0) = - \frac{7}{4}$

ステップ 11.2.4

最終的な答えは $- \frac{7}{4}$ です。

$y = - \frac{7}{4}$

ステップ 12

$f (x) = \frac{7 x^{2} + 28}{x^{4} - 16}$ の極値です。

$(0, - \frac{7}{4})$ は極大値です

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例