微分積分例

$f (x) = e^{2 x}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{2 x} (2 \cdot 1)$

ステップ 1.2.3

式を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$e^{2 x} \cdot 2$

ステップ 1.2.3.2

$2$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$2 e^{2 x}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 e^{2 x}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ です。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (e^{2 x})$

ステップ 2.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$f'' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (2 x))$

ステップ 2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (e^{u} \frac{d}{d x} (2 x))$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$f'' (x) = 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x))$

ステップ 2.3

微分します。

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ステップ 2.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 2 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = 4 e^{2 x} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 e^{2 x} \cdot 1$

ステップ 2.3.4

$4$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 4 e^{2 x}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$2 e^{2 x} = 0$

ステップ 4

一次導関数が $0$ に等しくなる $x$ の値がないので、極値はありません。

極値がありません

ステップ 5

極値がありません

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例