微分積分例

$f (x) = e^{3 x} + e^{- x}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $e^{3 x} + e^{- x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $3 x$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 1.2.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 1.2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 1.2.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 1.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 1.2.4

$3$ に $1$ をかけます。

$e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 1.2.5

$3$ を $e^{3 x}$ の左に移動させます。

$3 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- x$ とします。

$3 e^{3 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$3 e^{3 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.3.1.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$3 e^{3 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.3.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 e^{3 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 e^{3 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

ステップ 1.3.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$3 e^{3 x} + e^{- x} \cdot - 1$

ステップ 1.3.5

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$3 e^{3 x} - 1 \cdot e^{- x}$

ステップ 1.3.6

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$3 e^{3 x} - e^{- x}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $3 e^{3 x} - e^{- x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 e^{3 x}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ です。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

ステップ 2.2.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $3 x$ とします。

$f'' (x) = 3 (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (3 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

ステップ 2.2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (3 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

ステップ 2.2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$f'' (x) = 3 (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

ステップ 2.2.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 3 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

ステップ 2.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

ステップ 2.2.5

$3$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 3 (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

ステップ 2.2.6

$3$ を $e^{3 x}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = 3 (3 \cdot e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

ステップ 2.2.7

$3$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = 9 e^{3 x} + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- e^{- x}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ です。

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - \frac{d}{d x} e^{- x}$

ステップ 2.3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- x$ とします。

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x))$

ステップ 2.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x))$

ステップ 2.3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

ステップ 2.3.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

ステップ 2.3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

ステップ 2.3.6

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

ステップ 2.3.7

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$f'' (x) = 9 e^{3 x} + e^{- x}$

ステップ 2.3.8

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 9 e^{3 x} + 1 e^{- x}$

ステップ 2.3.9

$e^{- x}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 9 e^{3 x} + e^{- x}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$3 e^{3 x} - e^{- x} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

総和則では、 $e^{3 x} + e^{- x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $3 x$ とします。

$f' (x) = \frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

ステップ 4.1.2.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f' (x) = e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

ステップ 4.1.2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$f' (x) = e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

ステップ 4.1.2.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

ステップ 4.1.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

ステップ 4.1.2.4

$3$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

ステップ 4.1.2.5

$3$ を $e^{3 x}$ の左に移動させます。

$f' (x) = 3 e^{3 x} + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- x$ とします。

$f' (x) = 3 e^{3 x} + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)$

ステップ 4.1.3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f' (x) = 3 e^{3 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)$

ステップ 4.1.3.1.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$f' (x) = 3 e^{3 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)$

ステップ 4.1.3.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 3 e^{3 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)$

ステップ 4.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 e^{3 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

ステップ 4.1.3.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 3 e^{3 x} + e^{- x} \cdot - 1$

ステップ 4.1.3.5

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$f' (x) = 3 e^{3 x} - 1 \cdot e^{- x}$

ステップ 4.1.3.6

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$f' (x) = 3 e^{3 x} - e^{- x}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 e^{3 x} - e^{- x}$ です。

$3 e^{3 x} - e^{- x}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 e^{3 x} - e^{- x} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 e^{3 x} - e^{- x} = 0$

ステップ 5.2

両辺に $- e^{- x}$ を加えて方程式の右辺に移動させます。

$3 e^{3 x} = e^{- x}$

ステップ 5.3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (3 e^{3 x}) = \ln (e^{- x})$

ステップ 5.4

左辺を展開します。

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ステップ 5.4.1

$\ln (3 e^{3 x})$ を $\ln (3) + \ln (e^{3 x})$ に書き換えます。

$\ln (3) + \ln (e^{3 x}) = \ln (e^{- x})$

ステップ 5.4.2

$3 x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{3 x})$ を展開します。

$\ln (3) + 3 x \ln (e) = \ln (e^{- x})$

ステップ 5.4.3

$e$ の自然対数は $1$ です。

$\ln (3) + 3 x \cdot 1 = \ln (e^{- x})$

ステップ 5.4.4

$3$ に $1$ をかけます。

$\ln (3) + 3 x = \ln (e^{- x})$

ステップ 5.5

右辺を展開します。

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ステップ 5.5.1

$- x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{- x})$ を展開します。

$\ln (3) + 3 x = - x \ln (e)$

ステップ 5.5.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$\ln (3) + 3 x = - x \cdot 1$

ステップ 5.5.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\ln (3) + 3 x = - x$

ステップ 5.6

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 5.6.1

方程式の両辺に $x$ を足します。

$\ln (3) + 3 x + x = 0$

ステップ 5.6.2

$3 x$ と $x$ をたし算します。

$\ln (3) + 4 x = 0$

ステップ 5.7

方程式の両辺から $\ln (3)$ を引きます。

$4 x = - \ln (3)$

ステップ 5.8

$4 x = - \ln (3)$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.8.1

$4 x = - \ln (3)$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- \ln (3)}{4}$

ステップ 5.8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.8.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- \ln (3)}{4}$

ステップ 5.8.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- \ln (3)}{4}$

ステップ 5.8.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.8.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{\ln (3)}{4}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = - \frac{\ln (3)}{4}$

ステップ 8

$x = - \frac{\ln (3)}{4}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$9 e^{3 (- \frac{\ln (3)}{4})} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

ステップ 9

各項を簡約します。

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ステップ 9.1

$\frac{\ln (3)}{4}$ を $\frac{1}{4} \ln (3)$ に書き換えます。

$9 e^{3 (- (\frac{1}{4} \ln (3)))} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

ステップ 9.2

対数の中の $\frac{1}{4}$ を移動させて $\frac{1}{4} \ln (3)$ を簡約します。

$9 e^{3 (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

ステップ 9.3

$3 (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$9 e^{- 3 \ln (3^{\frac{1}{4}})} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

ステップ 9.3.2

対数の中の $3$ を移動させて $- 3 \ln (3^{\frac{1}{4}})$ を簡約します。

$9 e^{- \ln ({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

ステップ 9.4

対数の中の $- 1$ を移動させて $- \ln ({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})$ を簡約します。

$9 e^{\ln ({({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})}^{- 1})} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

ステップ 9.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$9 {({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})}^{- 1} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

ステップ 9.6

${({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 9.6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$9 {(3^{\frac{1}{4}})}^{3 \cdot - 1} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

ステップ 9.6.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$9 {(3^{\frac{1}{4}})}^{- 3} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

ステップ 9.7

${(3^{\frac{1}{4}})}^{- 3}$ の指数を掛けます。

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ステップ 9.7.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$9 \cdot 3^{\frac{1}{4} \cdot - 3} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

ステップ 9.7.2

$\frac{1}{4}$ と $- 3$ をまとめます。

$9 \cdot 3^{\frac{- 3}{4}} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

ステップ 9.7.3

分数の前に負数を移動させます。

$9 \cdot 3^{- \frac{3}{4}} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

ステップ 9.8

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$9 \cdot \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

ステップ 9.9

$9$ と $\frac{1}{3^{\frac{3}{4}}}$ をまとめます。

$\frac{9}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

ステップ 9.10

$\frac{\ln (3)}{4}$ を $\frac{1}{4} \ln (3)$ に書き換えます。

$\frac{9}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{- - (\frac{1}{4} \ln (3))}$

ステップ 9.11

対数の中の $\frac{1}{4}$ を移動させて $\frac{1}{4} \ln (3)$ を簡約します。

$\frac{9}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{- - \ln (3^{\frac{1}{4}})}$

ステップ 9.12

$- - \ln (3^{\frac{1}{4}})$ を掛けます。

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ステップ 9.12.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{9}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{1 \ln (3^{\frac{1}{4}})}$

ステップ 9.12.2

$\ln (3^{\frac{1}{4}})$ に $1$ をかけます。

$\frac{9}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{\ln (3^{\frac{1}{4}})}$

ステップ 9.13

指数関数と対数関数は逆関数です。

$\frac{9}{3^{\frac{3}{4}}} + 3^{\frac{1}{4}}$

ステップ 10

$x = - \frac{\ln (3)}{4}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - \frac{\ln (3)}{4}$ は極小値です

ステップ 11

$x = - \frac{\ln (3)}{4}$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

Simplify $- \frac{\ln (3)}{4}$ to substitute in $f (x) = e^{3 x} + e^{- x}$ .

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ステップ 11.1.1

$\frac{\ln (3)}{4}$ を $\frac{1}{4} \ln (3)$ に書き換えます。

$y = - (\frac{1}{4} \cdot \ln (3))$

ステップ 11.1.2

対数の中の $\frac{1}{4}$ を移動させて $\frac{1}{4} \ln (3)$ を簡約します。

$y = - \ln (3^{\frac{1}{4}})$

ステップ 11.2

式の変数 $x$ を $- \ln (3^{\frac{1}{4}})$ で置換えます。

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = e^{3 (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

ステップ 11.3

結果を簡約します。

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ステップ 11.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1.1

$3 (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1.1.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = e^{- 3 \ln (3^{\frac{1}{4}})} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

ステップ 11.3.1.1.2

対数の中の $3$ を移動させて $- 3 \ln (3^{\frac{1}{4}})$ を簡約します。

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = e^{- \ln ({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

ステップ 11.3.1.2

対数の中の $- 1$ を移動させて $- \ln ({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})$ を簡約します。

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = e^{\ln ({({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})}^{- 1})} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

ステップ 11.3.1.3

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = {({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})}^{- 1} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

ステップ 11.3.1.4

${({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = {(3^{\frac{1}{4}})}^{3 \cdot - 1} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

ステップ 11.3.1.4.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = {(3^{\frac{1}{4}})}^{- 3} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

ステップ 11.3.1.5

${(3^{\frac{1}{4}})}^{- 3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = 3^{\frac{1}{4} \cdot - 3} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

ステップ 11.3.1.5.2

$\frac{1}{4}$ と $- 3$ をまとめます。

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = 3^{\frac{- 3}{4}} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

ステップ 11.3.1.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = 3^{- \frac{3}{4}} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

ステップ 11.3.1.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

ステップ 11.3.1.7

$- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1.7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{1 \ln (3^{\frac{1}{4}})}$

ステップ 11.3.1.7.2

$\ln (3^{\frac{1}{4}})$ に $1$ をかけます。

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{\ln (3^{\frac{1}{4}})}$

ステップ 11.3.1.8

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + 3^{\frac{1}{4}}$

ステップ 11.3.2

最終的な答えは $\frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + 3^{\frac{1}{4}}$ です。

$y = \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + 3^{\frac{1}{4}}$

ステップ 12

$f (x) = e^{3 x} + e^{- x}$ の極値です。

$(- \frac{\ln (3)}{4}, \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + 3^{\frac{1}{4}})$ は極小値です

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例