微分積分例

$f (x) = \sqrt{3} x - 2 \sin (x)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $\sqrt{3} x - 2 \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sqrt{3} x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3} x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3} x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$\sqrt{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\sqrt{3} x$ の微分係数は $\sqrt{3} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\sqrt{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sqrt{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 1.2.3

$\sqrt{3}$ に $1$ をかけます。

$\sqrt{3} + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 \sin (x)$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$\sqrt{3} - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.3.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\sqrt{3} - 2 \cos (x)$

ステップ 1.4

項を並べ替えます。

$- 2 \cos (x) + \sqrt{3}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $- 2 \cos (x) + \sqrt{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sqrt{3}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 \cos (x)) + \frac{d}{d x} (\sqrt{3})$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 \cos (x)$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \cos (x) + \frac{d}{d x} (\sqrt{3})$

ステップ 2.2.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$f'' (x) = - 2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (\sqrt{3})$

ステップ 2.2.3

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} (\sqrt{3})$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

$\sqrt{3}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $\sqrt{3}$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 2 \sin (x) + 0$

ステップ 2.3.2

$2 \sin (x)$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 \sin (x)$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- 2 \cos (x) + \sqrt{3} = 0$

ステップ 4

方程式の両辺から $\sqrt{3}$ を引きます。

$- 2 \cos (x) = - \sqrt{3}$

ステップ 5

$- 2 \cos (x) = - \sqrt{3}$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1

$- 2 \cos (x) = - \sqrt{3}$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

ステップ 5.2.1.2

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 6

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 7

右辺を簡約します。

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ステップ 7.1

$\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{6}$ です。

$x = \frac{π}{6}$

ステップ 8

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{6}$

ステップ 9

$2 π - \frac{π}{6}$ を簡約します。

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ステップ 9.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 9.2

分数をまとめます。

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ステップ 9.2.1

$2 π$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 9.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

ステップ 9.3

分子を簡約します。

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ステップ 9.3.1

$6$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{12 π - π}{6}$

ステップ 9.3.2

$12 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{11 π}{6}$

ステップ 10

方程式 $x = \frac{π}{6}$ に対する解です。

$x = \frac{π}{6}, \frac{11 π}{6}$

ステップ 11

$x = \frac{π}{6}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$2 \sin (\frac{π}{6})$

ステップ 12

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 12.1

$\sin (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$2 (\frac{1}{2})$

ステップ 12.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.2.1

共通因数を約分します。

$2 (\frac{1}{2})$

ステップ 12.2.2

式を書き換えます。

$1$

ステップ 13

$x = \frac{π}{6}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{π}{6}$ は極小値です

ステップ 14

$x = \frac{π}{6}$ のときy値を求めます。

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ステップ 14.1

式の変数 $x$ を $\frac{π}{6}$ で置換えます。

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} (\frac{π}{6}) - 2 \sin (\frac{π}{6})$

ステップ 14.2

結果を簡約します。

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ステップ 14.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 14.2.1.1

$\sqrt{3}$ と $\frac{π}{6}$ をまとめます。

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3} π}{6} - 2 \sin (\frac{π}{6})$

ステップ 14.2.1.2

$\sin (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3} π}{6} - 2 (\frac{1}{2})$

ステップ 14.2.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1.3.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3} π}{6} + 2 (- 1) (\frac{1}{2})$

ステップ 14.2.1.3.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3} π}{6} + 2 \cdot (- 1 (\frac{1}{2}))$

ステップ 14.2.1.3.3

式を書き換えます。

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3} π}{6} - 1$

ステップ 14.2.2

最終的な答えは $\frac{\sqrt{3} π}{6} - 1$ です。

$y = \frac{\sqrt{3} π}{6} - 1$

ステップ 15

$x = \frac{11 π}{6}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$2 \sin (\frac{11 π}{6})$

ステップ 16

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 16.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$2 (- \sin (\frac{π}{6}))$

ステップ 16.2

$\sin (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$2 (- \frac{1}{2})$

ステップ 16.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 16.3.1

$- \frac{1}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$2 (\frac{- 1}{2})$

ステップ 16.3.2

共通因数を約分します。

$2 (\frac{- 1}{2})$

ステップ 16.3.3

式を書き換えます。

$- 1$

ステップ 17

$x = \frac{11 π}{6}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{11 π}{6}$ は極大値です

ステップ 18

$x = \frac{11 π}{6}$ のときy値を求めます。

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ステップ 18.1

式の変数 $x$ を $\frac{11 π}{6}$ で置換えます。

$f (\frac{11 π}{6}) = \sqrt{3} (\frac{11 π}{6}) - 2 \sin (\frac{11 π}{6})$

ステップ 18.2

結果を簡約します。

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ステップ 18.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.2.1.1

$\sqrt{3}$ と $\frac{11 π}{6}$ をまとめます。

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sqrt{3} (11 π)}{6} - 2 \sin (\frac{11 π}{6})$

ステップ 18.2.1.2

$11$ を $\sqrt{3}$ の左に移動させます。

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{11 \cdot (\sqrt{3} π)}{6} - 2 \sin (\frac{11 π}{6})$

ステップ 18.2.1.3

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{11 \sqrt{3} π}{6} - 2 (- \sin (\frac{π}{6}))$

ステップ 18.2.1.4

$\sin (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{11 \sqrt{3} π}{6} - 2 (- \frac{1}{2})$

ステップ 18.2.1.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.2.1.5.1

$- \frac{1}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{11 \sqrt{3} π}{6} - 2 (\frac{- 1}{2})$

ステップ 18.2.1.5.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{11 \sqrt{3} π}{6} + 2 (- 1) (\frac{- 1}{2})$

ステップ 18.2.1.5.3

共通因数を約分します。

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{11 \sqrt{3} π}{6} + 2 \cdot (- 1 (\frac{- 1}{2}))$

ステップ 18.2.1.5.4

式を書き換えます。

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{11 \sqrt{3} π}{6} - 1 \cdot - 1$

ステップ 18.2.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{11 \sqrt{3} π}{6} + 1$

ステップ 18.2.2

最終的な答えは $\frac{11 \sqrt{3} π}{6} + 1$ です。

$y = \frac{11 \sqrt{3} π}{6} + 1$

ステップ 19

$f (x) = \sqrt{3} x - 2 \sin (x)$ の極値です。

$(\frac{π}{6}, \frac{\sqrt{3} π}{6} - 1)$ は極小値です

$(\frac{11 π}{6}, \frac{11 \sqrt{3} π}{6} + 1)$ は極大値です

ステップ 20

微分積分 例

微分積分例