微分積分例

$f (x) = \frac{1}{2} x - \sin (x)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $\frac{1}{2} x - \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{2} x$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

ステップ 1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

ステップ 1.2.3

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \sin (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$\frac{1}{2} - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.3.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\frac{1}{2} - \cos (x)$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $\frac{1}{2} - \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2}) + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

ステップ 2.1.2

$\frac{1}{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $\frac{1}{2}$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \cos (x)$

ステップ 2.2.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$f'' (x) = 0 + \sin (x)$

ステップ 2.2.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 0 + 1 \sin (x)$

ステップ 2.2.4

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 0 + \sin (x)$

ステップ 2.3

$0$ と $\sin (x)$ をたし算します。

$f'' (x) = \sin (x)$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{1}{2} - \cos (x) = 0$

ステップ 4

方程式の両辺から $\frac{1}{2}$ を引きます。

$- \cos (x) = - \frac{1}{2}$

ステップ 5

$- \cos (x) = - \frac{1}{2}$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1

$- \cos (x) = - \frac{1}{2}$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

ステップ 5.2.2

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (x) = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\cos (x) = \frac{\frac{1}{2}}{1}$

ステップ 5.3.2

$\frac{1}{2}$ を $1$ で割ります。

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

ステップ 6

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

ステップ 7

右辺を簡約します。

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ステップ 7.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{3}$ です。

$x = \frac{π}{3}$

ステップ 8

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

ステップ 9

$2 π - \frac{π}{3}$ を簡約します。

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ステップ 9.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 9.2

分数をまとめます。

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ステップ 9.2.1

$2 π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 9.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

ステップ 9.3

分子を簡約します。

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ステップ 9.3.1

$3$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{6 π - π}{3}$

ステップ 9.3.2

$6 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{5 π}{3}$

ステップ 10

方程式 $x = \frac{π}{3}$ に対する解です。

$x = \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}$

ステップ 11

$x = \frac{π}{3}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\sin (\frac{π}{3})$

ステップ 12

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 13

$x = \frac{π}{3}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{π}{3}$ は極小値です

ステップ 14

$x = \frac{π}{3}$ のときy値を求めます。

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ステップ 14.1

式の変数 $x$ を $\frac{π}{3}$ で置換えます。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{3})$

ステップ 14.2

結果を簡約します。

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ステップ 14.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 14.2.1.1

$\frac{1}{2} (\frac{π}{3})$ を掛けます。

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ステップ 14.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{π}{3}$ をかけます。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{π}{2 \cdot 3} - \sin (\frac{π}{3})$

ステップ 14.2.1.1.2

$2$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{π}{6} - \sin (\frac{π}{3})$

ステップ 14.2.1.2

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 14.2.2

最終的な答えは $\frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$y = \frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 15

$x = \frac{5 π}{3}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\sin (\frac{5 π}{3})$

ステップ 16

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 16.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$- \sin (\frac{π}{3})$

ステップ 16.2

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 17

$x = \frac{5 π}{3}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{5 π}{3}$ は極大値です

ステップ 18

$x = \frac{5 π}{3}$ のときy値を求めます。

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ステップ 18.1

式の変数 $x$ を $\frac{5 π}{3}$ で置換えます。

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{5 π}{3}) - \sin (\frac{5 π}{3})$

ステップ 18.2

結果を簡約します。

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ステップ 18.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 18.2.1.1

$\frac{1}{2} (\frac{5 π}{3})$ を掛けます。

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ステップ 18.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{5 π}{3}$ をかけます。

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{2 \cdot 3} - \sin (\frac{5 π}{3})$

ステップ 18.2.1.1.2

$2$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{6} - \sin (\frac{5 π}{3})$

ステップ 18.2.1.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{6} + \sin (\frac{π}{3})$

ステップ 18.2.1.3

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 18.2.1.4

$- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 18.2.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{6} + 1 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 18.2.1.4.2

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 18.2.2

最終的な答えは $\frac{5 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$y = \frac{5 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 19

$f (x) = \frac{1}{2} x - \sin (x)$ の極値です。

$(\frac{π}{3}, \frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2})$ は極小値です

$(\frac{5 π}{3}, \frac{5 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2})$ は極大値です

ステップ 20

微分積分 例

微分積分例