微分積分例

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - x$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $\frac{1}{4} x^{4} - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{4} x^{4}$ の微分係数は $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.2.3

$4$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.2.4

$\frac{4}{4}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.2.5

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.2.5.2

$x^{3}$ を $1$ で割ります。

$x^{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{3} - \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{3} - 1 \cdot 1$

ステップ 1.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$x^{3} - 1$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $x^{3} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 3 x^{2} + 0$

ステップ 2.4

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 3 x^{2}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$x^{3} - 1 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

総和則では、 $\frac{1}{4} x^{4} - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{4} x^{4}$ の微分係数は $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 4.1.2.3

$4$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 4.1.2.4

$\frac{4}{4}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 4.1.2.5

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 4.1.2.5.2

$x^{3}$ を $1$ で割ります。

$x^{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{3} - \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{3} - 1 \cdot 1$

ステップ 4.1.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = x^{3} - 1$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $x^{3} - 1$ です。

$x^{3} - 1$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $x^{3} - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$x^{3} - 1 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x^{3} = 1$

ステップ 5.3

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x^{3} - 1 = 0$

ステップ 5.4

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 5.4.1

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$x^{3} - 1^{3} = 0$

ステップ 5.4.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

ステップ 5.4.3

簡約します。

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ステップ 5.4.3.1

$x$ に $1$ をかけます。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}) = 0$

ステップ 5.4.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

ステップ 5.5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

ステップ 5.6

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.6.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 5.6.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 5.7

$x^{2} + x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.7.1

$x^{2} + x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + x + 1 = 0$

ステップ 5.7.2

$x$ について $x^{2} + x + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.7.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 5.7.2.2

$a = 1$ 、 $b = 1$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.7.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.2.3.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.7.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.7.2.3.1.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.7.2.3.1.3

$1$ から $4$ を引きます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.7.2.3.1.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.7.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.7.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.7.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 5.7.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.2.4.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.7.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.7.2.4.1.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.7.2.4.1.3

$1$ から $4$ を引きます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.7.2.4.1.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.7.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.7.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.7.2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 5.7.2.4.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 5.7.2.4.4

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 5.7.2.4.5

$- 1$ を $i \sqrt{3}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 5.7.2.4.6

$- 1$ を $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 5.7.2.4.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 5.7.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.2.5.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.7.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 5.7.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.7.2.5.1.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.7.2.5.1.3

$1$ から $4$ を引きます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.7.2.5.1.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.7.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.7.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.7.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 5.7.2.5.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 5.7.2.5.4

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 5.7.2.5.5

$- 1$ を $- i \sqrt{3}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 5.7.2.5.6

$- 1$ を $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 5.7.2.5.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 5.7.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 5.8

最終解は $(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 1$

ステップ 8

$x = 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$3 {(1)}^{2}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

1のすべての数の累乗は1です。

$3 \cdot 1$

ステップ 9.2

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 10

$x = 1$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 1$ は極小値です

ステップ 11

$x = 1$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = \frac{1}{4} \cdot {(1)}^{4} - (1)$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 11.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = \frac{1}{4} \cdot 1 - (1)$

ステップ 11.2.1.2

$\frac{1}{4}$ に $1$ をかけます。

$f (1) = \frac{1}{4} - (1)$

ステップ 11.2.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (1) = \frac{1}{4} - 1$

ステップ 11.2.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$f (1) = \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 11.2.3

$- 1$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$f (1) = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}$

ステップ 11.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (1) = \frac{1 - 1 \cdot 4}{4}$

ステップ 11.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 11.2.5.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$f (1) = \frac{1 - 4}{4}$

ステップ 11.2.5.2

$1$ から $4$ を引きます。

$f (1) = \frac{- 3}{4}$

ステップ 11.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$f (1) = - \frac{3}{4}$

ステップ 11.2.7

最終的な答えは $- \frac{3}{4}$ です。

$y = - \frac{3}{4}$

ステップ 12

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - x$ の極値です。

$(1, - \frac{3}{4})$ は極小値です

ステップ 13

微分積分 例

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