微分積分例

$f (x) = \frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2} + 5 x + 16$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $\frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2} + 5 x + 16$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$\frac{10}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [\frac{10 x^{3}}{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 1.2.2

$\frac{10 x^{3}}{3}$ に $\frac{51}{2}$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [\frac{10 x^{3} \cdot 51}{3 \cdot 2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 1.2.3

$51$ に $10$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [\frac{510 x^{3}}{3 \cdot 2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 1.2.4

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [\frac{510 x^{3}}{6} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 1.2.5

$510$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

$6$ を $510 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\frac{6 (85 x^{3})}{6} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 1.2.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.1

$6$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\frac{6 (85 x^{3})}{6 (1)} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 1.2.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{6 (85 x^{3})}{6 \cdot 1} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 1.2.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{85 x^{3}}{1} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 1.2.5.2.4

$85 x^{3}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d}{d x} [85 x^{3} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 1.2.6

指数を足して $x^{3}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{d}{d x} [85 (x^{2} x^{3})] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 1.2.6.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d}{d x} [85 x^{2 + 3}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 1.2.6.3

$2$ と $3$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [85 x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 1.2.7

$85$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $85 x^{5}$ の微分係数は $85 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$85 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 1.2.8

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$85 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 1.2.9

$5$ に $85$ をかけます。

$425 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [5 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$425 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$425 x^{4} + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 1.3.3

$5$ に $1$ をかけます。

$425 x^{4} + 5 + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$16$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $16$ の微分係数は $0$ です。

$425 x^{4} + 5 + 0$

ステップ 1.4.2

$425 x^{4} + 5$ と $0$ をたし算します。

$425 x^{4} + 5$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $425 x^{4} + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [425 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (425 x^{4}) + \frac{d}{d x} (5)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [425 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$425$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $425 x^{4}$ の微分係数は $425 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$f'' (x) = 425 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (5)$

ステップ 2.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 425 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (5)$

ステップ 2.2.3

$4$ に $425$ をかけます。

$f'' (x) = 1700 x^{3} + \frac{d}{d x} (5)$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 1700 x^{3} + 0$

ステップ 2.3.2

$1700 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 1700 x^{3}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$425 x^{4} + 5 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$\frac{10}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [\frac{10 x^{3}}{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 4.1.2.2

$\frac{10 x^{3}}{3}$ に $\frac{51}{2}$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [\frac{10 x^{3} \cdot 51}{3 \cdot 2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 4.1.2.3

$51$ に $10$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [\frac{510 x^{3}}{3 \cdot 2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 4.1.2.4

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [\frac{510 x^{3}}{6} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 4.1.2.5

$510$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.5.1

$6$ を $510 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\frac{6 (85 x^{3})}{6} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 4.1.2.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.5.2.1

$6$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\frac{6 (85 x^{3})}{6 (1)} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 4.1.2.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{6 (85 x^{3})}{6 \cdot 1} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 4.1.2.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{85 x^{3}}{1} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 4.1.2.5.2.4

$85 x^{3}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d}{d x} [85 x^{3} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 4.1.2.6

指数を足して $x^{3}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.6.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{d}{d x} [85 (x^{2} x^{3})] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 4.1.2.6.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d}{d x} [85 x^{2 + 3}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 4.1.2.6.3

$2$ と $3$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [85 x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 4.1.2.7

$85$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $85 x^{5}$ の微分係数は $85 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$85 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 4.1.2.8

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$85 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 4.1.2.9

$5$ に $85$ をかけます。

$425 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [5 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$425 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$425 x^{4} + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 4.1.3.3

$5$ に $1$ をかけます。

$425 x^{4} + 5 + \frac{d}{d x} [16]$

ステップ 4.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$16$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $16$ の微分係数は $0$ です。

$425 x^{4} + 5 + 0$

ステップ 4.1.4.2

$425 x^{4} + 5$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 425 x^{4} + 5$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $425 x^{4} + 5$ です。

$425 x^{4} + 5$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $425 x^{4} + 5 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$425 x^{4} + 5 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$425 x^{4} = - 5$

ステップ 5.3

$425 x^{4} = - 5$ の各項を $425$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$425 x^{4} = - 5$ の各項を $425$ で割ります。

$\frac{425 x^{4}}{425} = \frac{- 5}{425}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$425$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{425 x^{4}}{425} = \frac{- 5}{425}$

ステップ 5.3.2.1.2

$x^{4}$ を $1$ で割ります。

$x^{4} = \frac{- 5}{425}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$- 5$ と $425$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.1

$5$ を $- 5$ で因数分解します。

$x^{4} = \frac{5 (- 1)}{425}$

ステップ 5.3.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.2.1

$5$ を $425$ で因数分解します。

$x^{4} = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 85}$

ステップ 5.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$x^{4} = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 85}$

ステップ 5.3.3.1.2.3

式を書き換えます。

$x^{4} = \frac{- 1}{85}$

ステップ 5.3.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$x^{4} = - \frac{1}{85}$

ステップ 5.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}$

ステップ 5.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}$

ステップ 5.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}$

ステップ 5.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}, - \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}, - \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}$

ステップ 8

$x = \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$1700 {(\sqrt[4]{- \frac{1}{85}})}^{3}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

${\sqrt[4]{- \frac{1}{85}}}^{3}$ を $\sqrt[4]{{(- \frac{1}{85})}^{3}}$ に書き換えます。

$1700 \sqrt[4]{{(- \frac{1}{85})}^{3}}$

ステップ 9.2

積の法則を $- \frac{1}{85}$ に当てはめます。

$1700 \sqrt[4]{{(- 1)}^{3} {(\frac{1}{85})}^{3}}$

ステップ 9.3

$- 1$ を $3$ 乗します。

$1700 \sqrt[4]{- {(\frac{1}{85})}^{3}}$

ステップ 9.4

積の法則を $\frac{1}{85}$ に当てはめます。

$1700 \sqrt[4]{- \frac{1^{3}}{85^{3}}}$

ステップ 9.5

1のすべての数の累乗は1です。

$1700 \sqrt[4]{- \frac{1}{85^{3}}}$

ステップ 9.6

$85$ を $3$ 乗します。

$1700 \sqrt[4]{- \frac{1}{614125}}$

ステップ 10

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 10.2

一次導関数 $425 x^{4} + 5$ の区間 $(- \infty, \infty)$ から $0$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 10.2.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f' (0) = 425 {(0)}^{4} + 5$

ステップ 10.2.2

結果を簡約します。

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ステップ 10.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f' (0) = 425 \cdot 0 + 5$

ステップ 10.2.2.1.2

$425$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = 0 + 5$

ステップ 10.2.2.2

$0$ と $5$ をたし算します。

$f' (0) = 5$

ステップ 10.2.2.3

最終的な答えは $5$ です。

$5$

ステップ 10.3

$f (x) = \frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2} + 5 x + 16$ における極大値または極小値は求められません。

極大値または極小値はありません

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例