微分積分例

$f (x) = \frac{4 e^{x}}{x^{4}}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4 e^{x}}{x^{4}}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{4}}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{4}}]$

ステップ 1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$4 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

ステップ 1.3

${(x^{4})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{4 \cdot 2}}$

ステップ 1.3.2

$4$ に $2$ をかけます。

$4 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

ステップ 1.4

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$4 \frac{x^{4} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

ステップ 1.5

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \frac{x^{4} e^{x} - e^{x} (4 x^{3})}{x^{8}}$

ステップ 1.5.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$4 \frac{x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

ステップ 1.5.2.2

$4$ と $\frac{x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$ をまとめます。

$\frac{4 (x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3})}{x^{8}}$

ステップ 1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4 (x^{4} e^{x}) + 4 (- 4 e^{x} x^{3})}{x^{8}}$

ステップ 1.6.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.2.1

$- 4$ に $4$ をかけます。

$\frac{4 x^{4} e^{x} - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

ステップ 1.6.2.2

$4 x^{4} e^{x} - 16 e^{x} x^{3}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{4 x^{4} e^{x} - 16 x^{3} e^{x}}{x^{8}}$

ステップ 1.6.3

項を並べ替えます。

$\frac{4 e^{x} x^{4} - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

ステップ 1.6.4

$4 e^{x} x^{3}$ を $4 e^{x} x^{4} - 16 e^{x} x^{3}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.4.1

$4 e^{x} x^{3}$ を $4 e^{x} x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{4 e^{x} x^{3} (x) - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

ステップ 1.6.4.2

$4 e^{x} x^{3}$ を $- 16 e^{x} x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{4 e^{x} x^{3} (x) + 4 e^{x} x^{3} (- 4)}{x^{8}}$

ステップ 1.6.4.3

$4 e^{x} x^{3}$ を $4 e^{x} x^{3} (x) + 4 e^{x} x^{3} (- 4)$ で因数分解します。

$\frac{4 e^{x} x^{3} (x - 4)}{x^{8}}$

ステップ 1.6.5

$x^{3}$ と $x^{8}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.5.1

$x^{3}$ を $4 e^{x} x^{3} (x - 4)$ で因数分解します。

$\frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{8}}$

ステップ 1.6.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.5.2.1

$x^{3}$ を $x^{8}$ で因数分解します。

$\frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{3} x^{5}}$

ステップ 1.6.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{3} x^{5}}$

ステップ 1.6.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x} (x - 4)}{x^{5}}]$ です。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{e^{x} (x - 4)}{x^{5}})$

ステップ 2.2

$f (x) = e^{x} (x - 4)$ および $g (x) = x^{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 4)) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{{(x^{5})}^{2}})$

ステップ 2.3

${(x^{5})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 4)) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{5 \cdot 2}})$

ステップ 2.3.2

$5$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 4)) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

ステップ 2.4

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} \frac{d}{d x} (x - 4) + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

ステップ 2.5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

総和則では、 $x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

ステップ 2.5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

ステップ 2.5.3

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

ステップ 2.5.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

ステップ 2.5.4.2

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

ステップ 2.6

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

ステップ 2.7

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - e^{x} (x - 4) (5 x^{4})}{x^{10}})$

ステップ 2.7.2

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.1

$5$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4) x^{4}}{x^{10}})$

ステップ 2.7.2.2

$x^{4}$ を $x^{5} (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4) x^{4}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.2.1

$x^{4}$ を $x^{5} (e^{x} + (x - 4) e^{x})$ で因数分解します。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x})) - 5 e^{x} (x - 4) x^{4}}{x^{10}})$

ステップ 2.7.2.2.2

$x^{4}$ を $- 5 e^{x} (x - 4) x^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x})) + x^{4} (- 5 e^{x} (x - 4))}{x^{10}})$

ステップ 2.7.2.2.3

$x^{4}$ を $x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x})) + x^{4} (- 5 e^{x} (x - 4))$ で因数分解します。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{10}})$

ステップ 2.8

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1

$x^{4}$ を $x^{10}$ で因数分解します。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{4} x^{6}})$

ステップ 2.8.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{4} x^{6}})$

ステップ 2.8.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = 4 (\frac{x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4)}{x^{6}})$

ステップ 2.9

$4$ と $\frac{x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4)}{x^{6}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4 (x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{6}}$

ステップ 2.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{4 (x (e^{x} + x e^{x} - 4 e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{6}}$

ステップ 2.10.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{4 (x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 4 e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{6}}$

ステップ 2.10.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{4 (x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 4 e^{x}) - 5 e^{x} x - 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

ステップ 2.10.4

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{4 (x e^{x}) + 4 (x (x e^{x})) + 4 (x (- 4 e^{x})) + 4 (- 5 e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

ステップ 2.10.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.5.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.5.1.1.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 (x \cdot x e^{x}) + 4 (x (- 4 e^{x})) + 4 (- 5 e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

ステップ 2.10.5.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 (x^{2} e^{x}) + 4 (x (- 4 e^{x})) + 4 (- 5 e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

ステップ 2.10.5.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} + 4 (- 4 x e^{x}) + 4 (- 5 e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

ステップ 2.10.5.1.3

$- 4$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} - 16 (x e^{x}) + 4 (- 5 e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

ステップ 2.10.5.1.4

$- 5$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} - 16 x e^{x} - 20 (e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

ステップ 2.10.5.1.5

$- 4$ に $- 5$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} - 16 x e^{x} - 20 e^{x} x + 4 (20 e^{x})}{x^{6}}$

ステップ 2.10.5.1.6

$20$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} - 16 x e^{x} - 20 e^{x} x + 80 e^{x}}{x^{6}}$

ステップ 2.10.5.2

$4 x e^{x}$ から $16 x e^{x}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{- 12 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} - 20 e^{x} x + 80 e^{x}}{x^{6}}$

ステップ 2.10.5.3

$- 12 x e^{x}$ から $20 e^{x} x$ を引きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.5.3.1

$e^{x}$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 12 x e^{x} - 20 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} + 80 e^{x}}{x^{6}}$

ステップ 2.10.5.3.2

$- 12 x e^{x}$ から $20 x e^{x}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{- 32 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} + 80 e^{x}}{x^{6}}$

ステップ 2.10.6

項を並べ替えます。

$f'' (x) = \frac{- 32 e^{x} x + 4 e^{x} x^{2} + 80 e^{x}}{x^{6}}$

ステップ 2.10.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.7.1

$4 e^{x}$ を $- 32 e^{x} x + 4 e^{x} x^{2} + 80 e^{x}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.7.1.1

$4 e^{x}$ を $- 32 e^{x} x$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (- 8 x) + 4 e^{x} x^{2} + 80 e^{x}}{x^{6}}$

ステップ 2.10.7.1.2

$4 e^{x}$ を $4 e^{x} x^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (- 8 x) + 4 e^{x} (x^{2}) + 80 e^{x}}{x^{6}}$

ステップ 2.10.7.1.3

$4 e^{x}$ を $80 e^{x}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (- 8 x) + 4 e^{x} (x^{2}) + 4 e^{x} (20)}{x^{6}}$

ステップ 2.10.7.1.4

$4 e^{x}$ を $4 e^{x} (- 8 x) + 4 e^{x} (x^{2})$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (- 8 x + x^{2}) + 4 e^{x} (20)}{x^{6}}$

ステップ 2.10.7.1.5

$4 e^{x}$ を $4 e^{x} (- 8 x + x^{2}) + 4 e^{x} (20)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (- 8 x + x^{2} + 20)}{x^{6}}$

ステップ 2.10.7.2

項を並べ替えます。

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (x^{2} - 8 x + 20)}{x^{6}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4 e^{x}}{x^{4}}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{4}}]$ です。

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{e^{x}}{x^{4}})$

ステップ 4.1.2

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} x^{4}}{{(x^{4})}^{2}})$

ステップ 4.1.3

${(x^{4})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{4 \cdot 2}})$

ステップ 4.1.3.2

$4$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}})$

ステップ 4.1.4

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}})$

ステップ 4.1.5

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} e^{x} - e^{x} (4 x^{3})}{x^{8}})$

ステップ 4.1.5.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.2.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3}}{x^{8}})$

ステップ 4.1.5.2.2

$4$ と $\frac{x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{4 (x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3})}{x^{8}}$

ステップ 4.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{4 (x^{4} e^{x}) + 4 (- 4 e^{x} x^{3})}{x^{8}}$

ステップ 4.1.6.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.2.1

$- 4$ に $4$ をかけます。

$f' (x) = \frac{4 x^{4} e^{x} - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

ステップ 4.1.6.2.2

$4 x^{4} e^{x} - 16 e^{x} x^{3}$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = \frac{4 x^{4} e^{x} - 16 x^{3} e^{x}}{x^{8}}$

ステップ 4.1.6.3

項を並べ替えます。

$f' (x) = \frac{4 e^{x} x^{4} - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

ステップ 4.1.6.4

$4 e^{x} x^{3}$ を $4 e^{x} x^{4} - 16 e^{x} x^{3}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.4.1

$4 e^{x} x^{3}$ を $4 e^{x} x^{4}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{4 e^{x} x^{3} (x) - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

ステップ 4.1.6.4.2

$4 e^{x} x^{3}$ を $- 16 e^{x} x^{3}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{4 e^{x} x^{3} (x) + 4 e^{x} x^{3} (- 4)}{x^{8}}$

ステップ 4.1.6.4.3

$4 e^{x} x^{3}$ を $4 e^{x} x^{3} (x) + 4 e^{x} x^{3} (- 4)$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{4 e^{x} x^{3} (x - 4)}{x^{8}}$

ステップ 4.1.6.5

$x^{3}$ と $x^{8}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.5.1

$x^{3}$ を $4 e^{x} x^{3} (x - 4)$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{8}}$

ステップ 4.1.6.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.5.2.1

$x^{3}$ を $x^{8}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{3} x^{5}}$

ステップ 4.1.6.5.2.2

共通因数を約分します。

$f' (x) = \frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{3} x^{5}}$

ステップ 4.1.6.5.2.3

式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$ です。

$\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}} = 0$

ステップ 5.2

分子を0に等しくします。

$4 e^{x} (x - 4) = 0$

ステップ 5.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{x} = 0$

$x - 4 = 0$

ステップ 5.3.2

$e^{x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$e^{x}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{x} = 0$

ステップ 5.3.2.2

$x$ について $e^{x} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

ステップ 5.3.2.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 5.3.2.2.3

$e^{x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 5.3.3

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 5.3.3.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 5.3.4

最終解は $4 e^{x} (x - 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 4$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{5} = 0$

ステップ 6.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[5]{0}$

ステップ 6.2.2

$\sqrt[5]{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$0$ を $0^{5}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

ステップ 6.2.2.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 4$

ステップ 8

$x = 4$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{4 e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20)}{{(4)}^{6}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$4$ と ${(4)}^{6}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$4$ を $4 e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20)$ で因数分解します。

$\frac{4 (e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20))}{{(4)}^{6}}$

ステップ 9.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.2.1

$4$ を ${(4)}^{6}$ で因数分解します。

$\frac{4 (e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20))}{4 \cdot 4^{5}}$

ステップ 9.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 (e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20))}{4 \cdot 4^{5}}$

ステップ 9.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20)}{4^{5}}$

ステップ 9.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{e^{4} (16 - 8 \cdot 4 + 20)}{4^{5}}$

ステップ 9.2.2

$- 8$ に $4$ をかけます。

$\frac{e^{4} (16 - 32 + 20)}{4^{5}}$

ステップ 9.2.3

$16$ から $32$ を引きます。

$\frac{e^{4} (- 16 + 20)}{4^{5}}$

ステップ 9.2.4

$- 16$ と $20$ をたし算します。

$\frac{e^{4} \cdot 4}{4^{5}}$

ステップ 9.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

$4$ を $5$ 乗します。

$\frac{e^{4} \cdot 4}{1024}$

ステップ 9.3.2

$4$ と $1024$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.2.1

$4$ を $e^{4} \cdot 4$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot e^{4}}{1024}$

ステップ 9.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.2.2.1

$4$ を $1024$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot e^{4}}{4 \cdot 256}$

ステップ 9.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 \cdot e^{4}}{4 \cdot 256}$

ステップ 9.3.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{e^{4}}{256}$

ステップ 10

$x = 4$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 4$ は極小値です

ステップ 11

$x = 4$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f (4) = \frac{4 e^{4}}{{(4)}^{4}}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

$4$ と ${(4)}^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

$4$ を $4 e^{4}$ で因数分解します。

$f (4) = \frac{4 (e^{4})}{{(4)}^{4}}$

ステップ 11.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.2.1

$4$ を ${(4)}^{4}$ で因数分解します。

$f (4) = \frac{4 (e^{4})}{4 \cdot 4^{3}}$

ステップ 11.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$f (4) = \frac{4 e^{4}}{4 \cdot 4^{3}}$

ステップ 11.2.1.2.3

式を書き換えます。

$f (4) = \frac{e^{4}}{4^{3}}$

ステップ 11.2.2

$4$ を $3$ 乗します。

$f (4) = \frac{e^{4}}{64}$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $\frac{e^{4}}{64}$ です。

$y = \frac{e^{4}}{64}$

ステップ 12

$f (x) = \frac{4 e^{x}}{x^{4}}$ の極値です。

$(4, \frac{e^{4}}{64})$ は極小値です

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例