微分積分例

$f (x) = | x - 3 |$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = | x |$ および $g (x) = x - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 3$ とします。

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x - 3]$

ステップ 1.1.2

$u$ に関する $| u |$ の微分係数は $\frac{u}{| u |}$ です。

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x - 3]$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $x - 3$ で置き換えます。

$\frac{x - 3}{| x - 3 |} \frac{d}{d x} [x - 3]$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{x - 3}{| x - 3 |} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x - 3}{| x - 3 |} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 1.2.3

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x - 3}{| x - 3 |} (1 + 0)$

ステップ 1.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot 1$

ステップ 1.2.4.2

$\frac{x - 3}{| x - 3 |}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x - 3}{| x - 3 |}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = x - 3$ および $g (x) = | x - 3 |$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | \frac{d}{d x} (x - 3) - (x - 3) \frac{d}{d x} | x - 3 |}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x - 3) \frac{d}{d x} | x - 3 |}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | (1 + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x - 3) \frac{d}{d x} | x - 3 |}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.2.3

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | (1 + 0) - (x - 3) \frac{d}{d x} | x - 3 |}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | \cdot 1 - (x - 3) \frac{d}{d x} | x - 3 |}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.2.4.2

$| x - 3 |$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | - (x - 3) \frac{d}{d x} | x - 3 |}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.3

$f (x) = | x |$ および $g (x) = x - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 3$ とします。

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | - (x - 3) (\frac{d}{d u} (| u |) \frac{d}{d x} (x - 3))}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.3.2

$u$ に関する $| u |$ の微分係数は $\frac{u}{| u |}$ です。

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | - (x - 3) (\frac{u}{| u |} \cdot \frac{d}{d x} (x - 3))}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.3.3

$u$ のすべての発生を $x - 3$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | - (x - 3) (\frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot \frac{d}{d x} (x - 3))}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | - (x - 3) (\frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)))}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | - (x - 3) (\frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- 3)))}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.4.3

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | - (x - 3) (\frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot (1 + 0))}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.4.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | - (x - 3) (\frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot 1)}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.4.4.2

$\frac{x - 3}{| x - 3 |}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | - (x - 3) \frac{x - 3}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + (- x + 3) (\frac{x - 3}{| x - 3 |})}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1.1

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + (- x + 3) (\frac{x - 3}{| x - 3 |})}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.1.2

$- x + 3$ に $\frac{x - 3}{| x - 3 |}$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + \frac{(- x + 3) (x - 3)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.1.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1.3.1

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + \frac{(- (x) + 3) (x - 3)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.1.3.2

$3$ を $- 1 (- 3)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + \frac{(- (x) - 1 \cdot - 3) (x - 3)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.1.3.3

$- 1$ を $- (x) - 1 (- 3)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + \frac{- (x - 3) (x - 3)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.1.3.4

$- (x - 3)$ を $- 1 (x - 3)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + \frac{- 1 (x - 3) (x - 3)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.1.3.5

$x - 3$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + \frac{- 1 ((x - 3) (x - 3))}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.1.3.6

$x - 3$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + \frac{- 1 ((x - 3) (x - 3))}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.1.3.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + \frac{- 1 {(x - 3)}^{1 + 1}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.1.3.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + \frac{- 1 {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | - \frac{{(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.2

$| x - 3 |$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{| x - 3 |}{| x - 3 |}$ を掛けます。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x - 3 | | x - 3 |}{| x - 3 |} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x - 3 | | x - 3 | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.4.1

$| x - 3 | | x - 3 |$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.4.1.1

絶対値を乗算するために、各絶対値の内側にある項を乗算します。

$f'' (x) = \frac{\frac{| (x - 3) (x - 3) | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.1.2

$x - 3$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{\frac{| (x - 3) (x - 3) | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.1.3

$x - 3$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{\frac{| (x - 3) (x - 3) | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{\frac{| {(x - 3)}^{1 + 1} | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.1.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{\frac{| {(x - 3)}^{2} | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.2

${(x - 3)}^{2}$ を $(x - 3) (x - 3)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{\frac{| (x - 3) (x - 3) | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 3) (x - 3)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.4.3.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x (x - 3) - 3 (x - 3) | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.3.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3) | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.3.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.4.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.4.4.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.4.1.2

$- 3$ を $x$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3 | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.4.1.3

$- 3$ に $- 3$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 3 x - 3 x + 9 | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.4.2

$- 3 x$ から $3 x$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.5

${(x - 3)}^{2}$ を $(x - 3) (x - 3)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - ((x - 3) (x - 3))}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.6

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 3) (x - 3)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.4.6.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - (x (x - 3) - 3 (x - 3))}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.6.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3))}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.6.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.7

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.4.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.4.7.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.7.1.2

$- 3$ を $x$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.7.1.3

$- 3$ に $- 3$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - (x^{2} - 3 x - 3 x + 9)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.7.2

$- 3 x$ から $3 x$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - (x^{2} - 6 x + 9)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.8

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 9}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.4.9.1

$- 6$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - x^{2} + 6 x - 1 \cdot 9}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.9.2

$- 1$ に $9$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - x^{2} + 6 x - 9}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.10

項を並べ替えます。

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + 6 x + | x^{2} - 6 x + 9 | - 9}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.11

因数分解した形で $- x^{2} + 6 x + | x^{2} - 6 x + 9 | - 9$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.4.11.1

項を再分類します。

$f'' (x) = \frac{\frac{- 9 - x^{2} + 6 x + | x^{2} - 6 x + 9 |}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.11.2

$- 1$ を $- x^{2} + 6 x + | x^{2} - 6 x + 9 |$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.4.11.2.1

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{\frac{- 9 - (x^{2}) + 6 x + | x^{2} - 6 x + 9 |}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.11.2.2

$- 1$ を $6 x$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{\frac{- 9 - (x^{2}) - (- 6 x) + | x^{2} - 6 x + 9 |}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.11.2.3

$- 1$ を $| x^{2} - 6 x + 9 |$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{\frac{- 9 - (x^{2}) - (- 6 x) - 1 (- | x^{2} - 6 x + 9 |)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.11.2.4

$- 1$ を $- (x^{2}) - (- 6 x)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{\frac{- 9 - (x^{2} - 6 x) - 1 (- | x^{2} - 6 x + 9 |)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.11.2.5

$- 1$ を $- (x^{2} - 6 x) - 1 (- | x^{2} - 6 x + 9 |)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{\frac{- 9 - (x^{2} - 6 x - | x^{2} - 6 x + 9 |)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.11.3

$- 1$ を $- 9 - (x^{2} - 6 x - | x^{2} - 6 x + 9 |)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.4.11.3.1

$- 9$ を $- 1 (9)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 \cdot 9 - (x^{2} - 6 x - | x^{2} - 6 x + 9 |)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.11.3.2

$- 1$ を $- 1 (9) - (x^{2} - 6 x - | x^{2} - 6 x + 9 |)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 (9 + x^{2} - 6 x - | x^{2} - 6 x + 9 |)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.11.3.3

$- 1 (9 + x^{2} - 6 x - | x^{2} - 6 x + 9 |)$ を $- (9 + x^{2} - 6 x - | x^{2} - 6 x + 9 |)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{\frac{- (9 + x^{2} - 6 x - | x^{2} - 6 x + 9 |)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.4.11.4

項を並べ替えます。

$f'' (x) = \frac{\frac{- (x^{2} - 6 x + 9 - | x^{2} - 6 x + 9 |)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.5.2.5

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2} - 6 x + 9 - | x^{2} - 6 x + 9 |}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.5.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1

$\frac{- \frac{x^{2} - 6 x + 9 - | x^{2} - 6 x + 9 |}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$ を積として書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{x^{2} - 6 x + 9 - | x^{2} - 6 x + 9 |}{| x - 3 |} \cdot \frac{1}{{| x - 3 |}^{2}}$

ステップ 2.5.3.2

$\frac{1}{{| x - 3 |}^{2}}$ に $\frac{x^{2} - 6 x + 9 - | x^{2} - 6 x + 9 |}{| x - 3 |}$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{x^{2} - 6 x + 9 - | x^{2} - 6 x + 9 |}{{| x - 3 |}^{2} | x - 3 |}$

ステップ 2.5.3.3

指数を足して ${| x - 3 |}^{2}$ に $| x - 3 |$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.3.1

${| x - 3 |}^{2}$ に $| x - 3 |$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.3.1.1

$| x - 3 |$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - \frac{x^{2} - 6 x + 9 - | x^{2} - 6 x + 9 |}{{| x - 3 |}^{2} | x - 3 |}$

ステップ 2.5.3.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - \frac{x^{2} - 6 x + 9 - | x^{2} - 6 x + 9 |}{{| x - 3 |}^{2 + 1}}$

ステップ 2.5.3.3.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{x^{2} - 6 x + 9 - | x^{2} - 6 x + 9 |}{{| x - 3 |}^{3}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{x - 3}{| x - 3 |} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1.1

$f (x) = | x |$ および $g (x) = x - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 3$ とします。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (| u |) \frac{d}{d x} (x - 3)$

ステップ 4.1.1.2

$u$ に関する $| u |$ の微分係数は $\frac{u}{| u |}$ です。

$f' (x) = \frac{u}{| u |} \cdot \frac{d}{d x} (x - 3)$

ステップ 4.1.1.3

$u$ のすべての発生を $x - 3$ で置き換えます。

$f' (x) = \frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot \frac{d}{d x} (x - 3)$

ステップ 4.1.2

微分します。

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ステップ 4.1.2.1

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$f' (x) = \frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))$

ステップ 4.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- 3))$

ステップ 4.1.2.3

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot (1 + 0)$

ステップ 4.1.2.4

式を簡約します。

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ステップ 4.1.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot 1$

ステップ 4.1.2.4.2

$\frac{x - 3}{| x - 3 |}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{x - 3}{| x - 3 |}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{x - 3}{| x - 3 |}$ です。

$\frac{x - 3}{| x - 3 |}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{x - 3}{| x - 3 |} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{x - 3}{| x - 3 |} = 0$

ステップ 5.2

分子を0に等しくします。

$x - 3 = 0$

ステップ 5.3

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 5.4

$\frac{x - 3}{| x - 3 |} = 0$ が真にならない解を除外します。

$解がありません$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

$\frac{x - 3}{| x - 3 |}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$| x - 3 | = 0$

ステップ 6.2

$x$ について解きます。

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ステップ 6.2.1

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$x - 3 = \pm 0$

ステップ 6.2.2

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x - 3 = 0$

ステップ 6.2.3

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 3$

ステップ 8

$x = 3$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 9 - | {(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 9 |}{{| (3) - 3 |}^{3}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

$3$ から $3$ を引きます。

$- \frac{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 9 - | {(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 9 |}{{| 0 |}^{3}}$

ステップ 9.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $0$ の間の距離は $0$ です。

$- \frac{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 9 - | {(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 9 |}{0^{3}}$

ステップ 9.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- \frac{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 9 - | {(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 9 |}{0}$

ステップ 9.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 10

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

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ステップ 10.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

ステップ 10.2

一次導関数 $\frac{x - 3}{| x - 3 |}$ の区間 $(- \infty, 3)$ から $0$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 10.2.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f' (0) = \frac{(0) - 3}{| (0) - 3 |}$

ステップ 10.2.2

結果を簡約します。

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ステップ 10.2.2.1

$0$ から $3$ を引きます。

$f' (0) = \frac{- 3}{| 0 - 3 |}$

ステップ 10.2.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 10.2.2.2.1

$0$ から $3$ を引きます。

$f' (0) = \frac{- 3}{| - 3 |}$

ステップ 10.2.2.2.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $- 3$ と $0$ の間の距離は $3$ です。

$f' (0) = \frac{- 3}{3}$

ステップ 10.2.2.3

$- 3$ を $3$ で割ります。

$f' (0) = - 1$

ステップ 10.2.2.4

最終的な答えは $- 1$ です。

$- 1$

ステップ 10.3

一次導関数 $\frac{x - 3}{| x - 3 |}$ の区間 $(3, \infty)$ から $6$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 10.3.1

式の変数 $x$ を $6$ で置換えます。

$f' (6) = \frac{(6) - 3}{| (6) - 3 |}$

ステップ 10.3.2

結果を簡約します。

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ステップ 10.3.2.1

$6$ から $3$ を引きます。

$f' (6) = \frac{3}{| 6 - 3 |}$

ステップ 10.3.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.2.1

$6$ から $3$ を引きます。

$f' (6) = \frac{3}{| 3 |}$

ステップ 10.3.2.2.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $3$ の間の距離は $3$ です。

$f' (6) = \frac{3}{3}$

ステップ 10.3.2.3

$3$ を $3$ で割ります。

$f' (6) = 1$

ステップ 10.3.2.4

最終的な答えは $1$ です。

$1$

ステップ 10.4

$x = 3$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = 3$ は極小値です。

$x = 3$ は極小値です

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例