微分積分例

$f (x) = | x |$

ステップ 1

$x$ に関する $| x |$ の微分係数は $\frac{x}{| x |}$ です。

$\frac{x}{| x |}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = x$ および $g (x) = | x |$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{| x | \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}}$

ステップ 2.2

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{| x | \cdot 1 - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}}$

ステップ 2.2.2

$| x |$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{| x | - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}}$

ステップ 2.3

$x$ に関する $| x |$ の微分係数は $\frac{x}{| x |}$ です。

$f'' (x) = \frac{| x | - x \frac{x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

ステップ 2.4

$\frac{x}{| x |}$ と $x$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

ステップ 2.5

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

ステップ 2.6

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

ステップ 2.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{| x | - \frac{x^{1 + 1}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

ステップ 2.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

ステップ 2.9

簡約します。

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ステップ 2.9.1

項を並べ替えます。

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2}}{| x |} + | x |}{{| x |}^{2}}$

ステップ 2.9.2

分子を簡約します。

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ステップ 2.9.2.1

$| x |$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{| x |}{| x |}$ を掛けます。

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2}}{| x |} + \frac{| x | | x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

ステップ 2.9.2.2

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x | | x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

ステップ 2.9.2.3

分子を簡約します。

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ステップ 2.9.2.3.1

$| x | | x |$ を掛けます。

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ステップ 2.9.2.3.1.1

絶対値を乗算するために、各絶対値の内側にある項を乗算します。

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x \cdot x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

ステップ 2.9.2.3.1.2

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x \cdot x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

ステップ 2.9.2.3.1.3

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x \cdot x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

ステップ 2.9.2.3.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x^{1 + 1} |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

ステップ 2.9.2.3.1.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x^{2} |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

ステップ 2.9.2.3.2

絶対値から非負の項を削除します。

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

ステップ 2.9.2.3.3

$- x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{\frac{0}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

ステップ 2.9.2.4

$0$ を $| x |$ で割ります。

$f'' (x) = \frac{0}{{| x |}^{2}}$

ステップ 2.9.3

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$f'' (x) = \frac{0}{x^{2}}$

ステップ 2.9.4

$0$ を $x^{2}$ で割ります。

$f'' (x) = 0$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{x}{| x |} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

$x$ に関する $| x |$ の微分係数は $\frac{x}{| x |}$ です。

$f' (x) = \frac{x}{| x |}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{x}{| x |}$ です。

$\frac{x}{| x |}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{x}{| x |} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{x}{| x |} = 0$

ステップ 5.2

分子を0に等しくします。

$x = 0$

ステップ 5.3

$\frac{x}{| x |} = 0$ が真にならない解を除外します。

$解がありません$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

$\frac{x}{| x |}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$| x | = 0$

ステップ 6.2

$x$ について解きます。

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ステップ 6.2.1

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$x = \pm 0$

ステップ 6.2.2

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$0$

ステップ 9

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

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ステップ 9.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 9.2

一次導関数 $\frac{x}{| x |}$ の区間 $(- \infty, 0)$ から $- 2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 9.2.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f' (- 2) = \frac{- 2}{| - 2 |}$

ステップ 9.2.2

結果を簡約します。

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ステップ 9.2.2.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $- 2$ と $0$ の間の距離は $2$ です。

$f' (- 2) = \frac{- 2}{2}$

ステップ 9.2.2.2

$- 2$ を $2$ で割ります。

$f' (- 2) = - 1$

ステップ 9.2.2.3

最終的な答えは $- 1$ です。

$- 1$

ステップ 9.3

一次導関数 $\frac{x}{| x |}$ の区間 $(0, \infty)$ から $2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 9.3.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f' (2) = \frac{2}{| 2 |}$

ステップ 9.3.2

結果を簡約します。

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ステップ 9.3.2.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$f' (2) = \frac{2}{2}$

ステップ 9.3.2.2

$2$ を $2$ で割ります。

$f' (2) = 1$

ステップ 9.3.2.3

最終的な答えは $1$ です。

$1$

ステップ 9.4

$x = 0$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = 0$ は極小値です。

$x = 0$ は極小値です

ステップ 10

微分積分 例

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