微分積分例

$y = x^{- 7} + x^{7}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $x^{- 7} + x^{7}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{- 7}] + \frac{d}{d x} [x^{7}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{- 7}] + \frac{d}{d x} [x^{7}]$

ステップ 1.2

$n = - 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 7 x^{- 8} + \frac{d}{d x} [x^{7}]$

ステップ 1.3

$n = 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 7 x^{- 8} + 7 x^{6}$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 7 \frac{1}{x^{8}} + 7 x^{6}$

ステップ 1.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$- 7$ と $\frac{1}{x^{8}}$ をまとめます。

$\frac{- 7}{x^{8}} + 7 x^{6}$

ステップ 1.4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{7}{x^{8}} + 7 x^{6}$

ステップ 1.4.3

項を並べ替えます。

$f' (x) = 7 x^{6} - \frac{7}{x^{8}}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $7 x^{6} - \frac{7}{x^{8}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [7 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [7 x^{6}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x^{6}$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ です。

$7 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$

ステップ 2.2.2

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$

ステップ 2.2.3

$6$ に $7$ をかけます。

$42 x^{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{7}{x^{8}}$ の微分係数は $- 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{8}}]$ です。

$42 x^{5} - 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{8}}]$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{x^{8}}$ を ${(x^{8})}^{- 1}$ に書き換えます。

$42 x^{5} - 7 \frac{d}{d x} [{(x^{8})}^{- 1}]$

ステップ 2.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{8}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{8}$ とします。

$42 x^{5} - 7 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{8}])$

ステップ 2.3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$42 x^{5} - 7 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{8}])$

ステップ 2.3.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{8}$ で置き換えます。

$42 x^{5} - 7 (- {(x^{8})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{8}])$

ステップ 2.3.4

$n = 8$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$42 x^{5} - 7 (- {(x^{8})}^{- 2} (8 x^{7}))$

ステップ 2.3.5

${(x^{8})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$42 x^{5} - 7 (- x^{8 \cdot - 2} (8 x^{7}))$

ステップ 2.3.5.2

$8$ に $- 2$ をかけます。

$42 x^{5} - 7 (- x^{- 16} (8 x^{7}))$

ステップ 2.3.6

$8$ に $- 1$ をかけます。

$42 x^{5} - 7 (- 8 x^{- 16} x^{7})$

ステップ 2.3.7

指数を足して $x^{- 16}$ に $x^{7}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1

$x^{7}$ を移動させます。

$42 x^{5} - 7 (- 8 (x^{7} x^{- 16}))$

ステップ 2.3.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$42 x^{5} - 7 (- 8 x^{7 - 16})$

ステップ 2.3.7.3

$7$ から $16$ を引きます。

$42 x^{5} - 7 (- 8 x^{- 9})$

ステップ 2.3.8

$- 8$ に $- 7$ をかけます。

$42 x^{5} + 56 x^{- 9}$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$42 x^{5} + 56 \frac{1}{x^{9}}$

ステップ 2.4.2

$56$ と $\frac{1}{x^{9}}$ をまとめます。

$f'' (x) = 42 x^{5} + \frac{56}{x^{9}}$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $42 x^{5} + \frac{56}{x^{9}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [42 x^{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$42$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $42 x^{5}$ の微分係数は $42 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$42 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$

ステップ 3.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$42 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$

ステップ 3.2.3

$5$ に $42$ をかけます。

$210 x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$56$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{56}{x^{9}}$ の微分係数は $56 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{9}}]$ です。

$210 x^{4} + 56 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{9}}]$

ステップ 3.3.2

$\frac{1}{x^{9}}$ を ${(x^{9})}^{- 1}$ に書き換えます。

$210 x^{4} + 56 \frac{d}{d x} [{(x^{9})}^{- 1}]$

ステップ 3.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{9}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{9}$ とします。

$210 x^{4} + 56 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{9}])$

ステップ 3.3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$210 x^{4} + 56 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{9}])$

ステップ 3.3.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{9}$ で置き換えます。

$210 x^{4} + 56 (- {(x^{9})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{9}])$

ステップ 3.3.4

$n = 9$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$210 x^{4} + 56 (- {(x^{9})}^{- 2} (9 x^{8}))$

ステップ 3.3.5

${(x^{9})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$210 x^{4} + 56 (- x^{9 \cdot - 2} (9 x^{8}))$

ステップ 3.3.5.2

$9$ に $- 2$ をかけます。

$210 x^{4} + 56 (- x^{- 18} (9 x^{8}))$

ステップ 3.3.6

$9$ に $- 1$ をかけます。

$210 x^{4} + 56 (- 9 x^{- 18} x^{8})$

ステップ 3.3.7

指数を足して $x^{- 18}$ に $x^{8}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.7.1

$x^{8}$ を移動させます。

$210 x^{4} + 56 (- 9 (x^{8} x^{- 18}))$

ステップ 3.3.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$210 x^{4} + 56 (- 9 x^{8 - 18})$

ステップ 3.3.7.3

$8$ から $18$ を引きます。

$210 x^{4} + 56 (- 9 x^{- 10})$

ステップ 3.3.8

$- 9$ に $56$ をかけます。

$210 x^{4} - 504 x^{- 10}$

ステップ 3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$210 x^{4} - 504 \frac{1}{x^{10}}$

ステップ 3.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$- 504$ と $\frac{1}{x^{10}}$ をまとめます。

$210 x^{4} + \frac{- 504}{x^{10}}$

ステップ 3.4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f''' (x) = 210 x^{4} - \frac{504}{x^{10}}$

ステップ 4

四次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

総和則では、 $210 x^{4} - \frac{504}{x^{10}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$

ステップ 4.2

$\frac{d}{d x} [210 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$210$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $210 x^{4}$ の微分係数は $210 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$210 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$

ステップ 4.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$210 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$

ステップ 4.2.3

$4$ に $210$ をかけます。

$840 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$

ステップ 4.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- 504$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{504}{x^{10}}$ の微分係数は $- 504 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{10}}]$ です。

$840 x^{3} - 504 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{10}}]$

ステップ 4.3.2

$\frac{1}{x^{10}}$ を ${(x^{10})}^{- 1}$ に書き換えます。

$840 x^{3} - 504 \frac{d}{d x} [{(x^{10})}^{- 1}]$

ステップ 4.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{10}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{10}$ とします。

$840 x^{3} - 504 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{10}])$

ステップ 4.3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$840 x^{3} - 504 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{10}])$

ステップ 4.3.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{10}$ で置き換えます。

$840 x^{3} - 504 (- {(x^{10})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{10}])$

ステップ 4.3.4

$n = 10$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$840 x^{3} - 504 (- {(x^{10})}^{- 2} (10 x^{9}))$

ステップ 4.3.5

${(x^{10})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$840 x^{3} - 504 (- x^{10 \cdot - 2} (10 x^{9}))$

ステップ 4.3.5.2

$10$ に $- 2$ をかけます。

$840 x^{3} - 504 (- x^{- 20} (10 x^{9}))$

ステップ 4.3.6

$10$ に $- 1$ をかけます。

$840 x^{3} - 504 (- 10 x^{- 20} x^{9})$

ステップ 4.3.7

指数を足して $x^{- 20}$ に $x^{9}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.1

$x^{9}$ を移動させます。

$840 x^{3} - 504 (- 10 (x^{9} x^{- 20}))$

ステップ 4.3.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$840 x^{3} - 504 (- 10 x^{9 - 20})$

ステップ 4.3.7.3

$9$ から $20$ を引きます。

$840 x^{3} - 504 (- 10 x^{- 11})$

ステップ 4.3.8

$- 10$ に $- 504$ をかけます。

$840 x^{3} + 5040 x^{- 11}$

ステップ 4.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$840 x^{3} + 5040 \frac{1}{x^{11}}$

ステップ 4.4.2

$5040$ と $\frac{1}{x^{11}}$ をまとめます。

$f^{4} (x) = 840 x^{3} + \frac{5040}{x^{11}}$

微分積分 例

微分積分例