微分積分例

$f (t) = t \sqrt{25 - t^{2}}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{25 - t^{2}}$ を ${(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d t} [t {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.2

$f (t) = t$ および $g (t) = {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$t \frac{d}{d t} [{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 1.3

$f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ および $g (t) = 25 - t^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $25 - t^{2}$ とします。

$t (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [25 - t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 1.3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$t (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [25 - t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 1.3.3

$u$ のすべての発生を $25 - t^{2}$ で置き換えます。

$t (\frac{1}{2} {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [25 - t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 1.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$t (\frac{1}{2} {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [25 - t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 1.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$t (\frac{1}{2} {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [25 - t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 1.6

公分母の分子をまとめます。

$t (\frac{1}{2} {(25 - t^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [25 - t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 1.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$t (\frac{1}{2} {(25 - t^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [25 - t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 1.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$t (\frac{1}{2} {(25 - t^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [25 - t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 1.8

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1

分数の前に負数を移動させます。

$t (\frac{1}{2} {(25 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [25 - t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 1.8.2

$\frac{1}{2}$ と ${(25 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$t (\frac{{(25 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [25 - t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 1.8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(25 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$t (\frac{1}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [25 - t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 1.8.4

$\frac{1}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $t$ をまとめます。

$\frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [25 - t^{2}] + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 1.9

総和則では、 $25 - t^{2}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [25] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ です。

$\frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [25] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 1.10

$25$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $25$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [- t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 1.11

$0$ と $\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ をたし算します。

$\frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- t^{2}] + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 1.12

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- t^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$\frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d t} [t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 1.13

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 t)) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 1.14

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.14.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 t) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 1.14.2

$- 2$ と $\frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{- 2 t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} t + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 1.14.3

$\frac{- 2 t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $t$ をまとめます。

$\frac{- 2 t \cdot t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 1.15

$t$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 2 (t^{1} t)}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 1.16

$t$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 2 (t^{1} t^{1})}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 1.17

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 2 t^{1 + 1}}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 1.18

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 2 t^{2}}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 1.19

$2$ を $- 2 t^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- t^{2})}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 1.20

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.20.1

$2$ を $2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- t^{2})}{2 ({(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 1.20.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- t^{2})}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 1.20.3

式を書き換えます。

$\frac{- t^{2}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 1.21

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{t^{2}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 1.22

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{t^{2}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

ステップ 1.23

${(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{t^{2}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.24

${(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$- \frac{t^{2}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.25

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- t^{2} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.26

指数を足して ${(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に ${(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.26.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- t^{2} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.26.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- t^{2} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.26.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- t^{2} + {(25 - t^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.26.4

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{- t^{2} + {(25 - t^{2})}^{1}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.27

${(25 - t^{2})}^{1}$ を簡約します。

$\frac{- t^{2} + 25 - t^{2}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.28

$- t^{2}$ から $t^{2}$ を引きます。

$\frac{- 2 t^{2} + 25}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.29

項を並べ替えます。

$\frac{- 2 t^{2} + 25}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (t) = - 2 t^{2} + 25$ および $g (t) = {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (- 2 t^{2} + 25) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{d}{d t} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{({(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.2

${({(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (- 2 t^{2} + 25) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{d}{d t} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1

共通因数を約分します。

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (- 2 t^{2} + 25) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{d}{d t} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.2.2.2

式を書き換えます。

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (- 2 t^{2} + 25) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{d}{d t} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.3

簡約します。

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (- 2 t^{2} + 25) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{d}{d t} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

総和則では、 $- 2 t^{2} + 25$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [- 2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [25]$ です。

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d t} (- 2 t^{2}) + \frac{d}{d t} (25)) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{d}{d t} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.4.2

$- 2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- 2 t^{2}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 2 \frac{d}{d t} t^{2} + \frac{d}{d t} (25)) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{d}{d t} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.4.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 2 (2 t) + \frac{d}{d t} (25)) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{d}{d t} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.4.4

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t + \frac{d}{d t} (25)) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{d}{d t} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.4.5

$25$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $25$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t + 0) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{d}{d t} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.4.6

$- 4 t$ と $0$ をたし算します。

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{d}{d t} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.5

$f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ および $g (t) = - t^{2} + 25$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- t^{2} + 25$ とします。

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} (- t^{2} + 25))}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.5.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} (- t^{2} + 25))}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.5.3

$u$ のすべての発生を $- t^{2} + 25$ で置き換えます。

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} (- t^{2} + 25))}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} (- t^{2} + 25))}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.7

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} (- t^{2} + 25))}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.8

公分母の分子をまとめます。

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} (- t^{2} + 25))}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} (- t^{2} + 25))}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.9.2

$1$ から $2$ を引きます。

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(- t^{2} + 25)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} (- t^{2} + 25))}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.10

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.1

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(- t^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (- t^{2} + 25))}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.10.2

$\frac{1}{2}$ と ${(- t^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{{(- t^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d t} (- t^{2} + 25))}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.10.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(- t^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d t} (- t^{2} + 25))}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.11

総和則では、 $- t^{2} + 25$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [- t^{2}] + \frac{d}{d t} [25]$ です。

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d t} (- t^{2}) + \frac{d}{d t} (25)))}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.12

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- t^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d t} t^{2} + \frac{d}{d t} (25)))}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.13

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 t) + \frac{d}{d t} (25)))}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.14

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 t + \frac{d}{d t} (25)))}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.15

$25$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $25$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 t + 0))}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.16

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.16.1

$- 2 t$ と $0$ をたし算します。

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 t))}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.16.2

$- 2$ と $\frac{1}{2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{- 2}{2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot t)}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.16.3

$\frac{- 2}{2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ と $t$ をまとめます。

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{- 2 t}{2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.16.4

$2$ を $- 2 t$ で因数分解します。

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{2 (- t)}{2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.17

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.17.1

$2$ を $2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{2 (- t)}{2 ({(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.17.2

共通因数を約分します。

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{2 (- t)}{2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.17.3

式を書き換えます。

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{- t}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.18

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (- \frac{t}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}})}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.19

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) + 1 (- 2 t^{2} + 25) (\frac{t}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}})}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.20

$- 2 t^{2} + 25$ に $1$ をかけます。

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) + (- 2 t^{2} + 25) (\frac{t}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}})}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.21

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.21.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.21.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (t) = \frac{- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} t + (- 2 t^{2} + 25) (\frac{t}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}})}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.21.1.2

$- 2 t^{2} + 25$ に $\frac{t}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$f'' (t) = \frac{- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} t + \frac{(- 2 t^{2} + 25) t}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.21.1.3

$- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} t$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$f'' (t) = \frac{- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} t \cdot \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{(- 2 t^{2} + 25) t}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.21.1.4

$- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} t$ と $\frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$f'' (t) = \frac{\frac{- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} t {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{(- 2 t^{2} + 25) t}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.21.1.5

公分母の分子をまとめます。

$f'' (t) = \frac{\frac{- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} t {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 t^{2} + 25) t}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.21.1.6

因数分解した形で $\frac{- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} t {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 t^{2} + 25) t}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.21.1.6.1

$t$ を $- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} t {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 t^{2} + 25) t$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.21.1.6.1.1

$t$ を $- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} t {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$f'' (t) = \frac{\frac{t (- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}) + (- 2 t^{2} + 25) t}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.21.1.6.1.2

$t$ を $(- 2 t^{2} + 25) t$ で因数分解します。

$f'' (t) = \frac{\frac{t (- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}) + t (- 2 t^{2} + 25)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.21.1.6.1.3

$t$ を $t (- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}) + t (- 2 t^{2} + 25)$ で因数分解します。

$f'' (t) = \frac{\frac{t (- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} - 2 t^{2} + 25)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.21.1.6.2

指数を足して ${(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.21.1.6.2.1

${(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$f'' (t) = \frac{\frac{t (- 4 ({(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}) - 2 t^{2} + 25)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.21.1.6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (t) = \frac{\frac{t (- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 2 t^{2} + 25)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.21.1.6.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f'' (t) = \frac{\frac{t (- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1 + 1}{2}} - 2 t^{2} + 25)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.21.1.6.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (t) = \frac{\frac{t (- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{2}{2}} - 2 t^{2} + 25)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.21.1.6.2.5

$2$ を $2$ で割ります。

$f'' (t) = \frac{\frac{t (- 4 (- t^{2} + 25) - 2 t^{2} + 25)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.21.1.6.3

$- 4 {(- t^{2} + 25)}^{1}$ を簡約します。

$f'' (t) = \frac{\frac{t (- 4 (- t^{2} + 25) - 2 t^{2} + 25)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.21.1.6.4

分配則を当てはめます。

$f'' (t) = \frac{\frac{t (- 4 (- t^{2}) - 4 \cdot 25 - 2 t^{2} + 25)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.21.1.6.5

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (t) = \frac{\frac{t (4 t^{2} - 4 \cdot 25 - 2 t^{2} + 25)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.21.1.6.6

$- 4$ に $25$ をかけます。

$f'' (t) = \frac{\frac{t (4 t^{2} - 100 - 2 t^{2} + 25)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.21.1.6.7

$4 t^{2}$ から $2 t^{2}$ を引きます。

$f'' (t) = \frac{\frac{t (2 t^{2} - 100 + 25)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.21.1.6.8

$- 100$ と $25$ をたし算します。

$f'' (t) = \frac{\frac{t (2 t^{2} - 75)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.21.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.21.2.1

$\frac{\frac{t (2 t^{2} - 75)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$ を積として書き換えます。

$f'' (t) = \frac{t (2 t^{2} - 75)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- t^{2} + 25}$

ステップ 2.21.2.2

$\frac{t (2 t^{2} - 75)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{- t^{2} + 25}$ をかけます。

$f'' (t) = \frac{t (2 t^{2} - 75)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- t^{2} + 25)}$

ステップ 2.21.2.3

指数を足して ${(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ に $- t^{2} + 25$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.21.2.3.1

${(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ に $- t^{2} + 25$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.21.2.3.1.1

$- t^{2} + 25$ を $1$ 乗します。

$f'' (t) = \frac{t (2 t^{2} - 75)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- t^{2} + 25)}$

ステップ 2.21.2.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (t) = \frac{t (2 t^{2} - 75)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

ステップ 2.21.2.3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f'' (t) = \frac{t (2 t^{2} - 75)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

ステップ 2.21.2.3.3

公分母の分子をまとめます。

$f'' (t) = \frac{t (2 t^{2} - 75)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

ステップ 2.21.2.3.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (t) = \frac{t (2 t^{2} - 75)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{- 2 t^{2} + 25}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{25 - t^{2}}$ を ${(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f' (t) = \frac{d}{d t} (t {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 4.1.2

$f' (t) = t \frac{d}{d t} ({(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

ステップ 4.1.3

$f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ および $g (t) = 25 - t^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $25 - t^{2}$ とします。

$f' (t) = t (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} (25 - t^{2})) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

ステップ 4.1.3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (t) = t (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} (25 - t^{2})) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

ステップ 4.1.3.3

$u$ のすべての発生を $25 - t^{2}$ で置き換えます。

$f' (t) = t (\frac{1}{2} \cdot {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} (25 - t^{2})) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

ステップ 4.1.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f' (t) = t (\frac{1}{2} \cdot {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} (25 - t^{2})) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

ステップ 4.1.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f' (t) = t (\frac{1}{2} \cdot {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} (25 - t^{2})) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

ステップ 4.1.6

公分母の分子をまとめます。

$f' (t) = t (\frac{1}{2} \cdot {(25 - t^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} (25 - t^{2})) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

ステップ 4.1.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f' (t) = t (\frac{1}{2} \cdot {(25 - t^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} (25 - t^{2})) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

ステップ 4.1.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$f' (t) = t (\frac{1}{2} \cdot {(25 - t^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} (25 - t^{2})) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

ステップ 4.1.8

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.8.1

分数の前に負数を移動させます。

$f' (t) = t (\frac{1}{2} \cdot {(25 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (25 - t^{2})) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

ステップ 4.1.8.2

$\frac{1}{2}$ と ${(25 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$f' (t) = t (\frac{{(25 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d t} (25 - t^{2})) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

ステップ 4.1.8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(25 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$f' (t) = t (\frac{1}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d t} (25 - t^{2})) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

ステップ 4.1.8.4

$\frac{1}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $t$ をまとめます。

$f' (t) = \frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d t} (25 - t^{2}) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

ステップ 4.1.9

総和則では、 $25 - t^{2}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [25] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ です。

$f' (t) = \frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d t} (25) + \frac{d}{d t} (- t^{2})) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

ステップ 4.1.10

$25$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $25$ の微分係数は $0$ です。

$f' (t) = \frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d t} (- t^{2})) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

ステップ 4.1.11

$0$ と $\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ をたし算します。

$f' (t) = \frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d t} (- t^{2}) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

ステップ 4.1.12

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- t^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$f' (t) = \frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d t} t^{2}) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

ステップ 4.1.13

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (t) = \frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 t)) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

ステップ 4.1.14

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.14.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (t) = \frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 t) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

ステップ 4.1.14.2

$- 2$ と $\frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$f' (t) = \frac{- 2 t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot t + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

ステップ 4.1.14.3

$\frac{- 2 t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $t$ をまとめます。

$f' (t) = \frac{- 2 t \cdot t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

ステップ 4.1.15

$t$ を $1$ 乗します。

$f' (t) = \frac{- 2 (t \cdot t)}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

ステップ 4.1.16

$t$ を $1$ 乗します。

$f' (t) = \frac{- 2 (t \cdot t)}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

ステップ 4.1.17

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (t) = \frac{- 2 t^{1 + 1}}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

ステップ 4.1.18

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (t) = \frac{- 2 t^{2}}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

ステップ 4.1.19

$2$ を $- 2 t^{2}$ で因数分解します。

$f' (t) = \frac{2 (- t^{2})}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

ステップ 4.1.20

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.20.1

$2$ を $2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$f' (t) = \frac{2 (- t^{2})}{2 ({(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

ステップ 4.1.20.2

共通因数を約分します。

$f' (t) = \frac{2 (- t^{2})}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

ステップ 4.1.20.3

式を書き換えます。

$f' (t) = \frac{- t^{2}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

ステップ 4.1.21

分数の前に負数を移動させます。

$f' (t) = - \frac{t^{2}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

ステップ 4.1.22

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (t) = - \frac{t^{2}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

ステップ 4.1.23

${(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$f' (t) = - \frac{t^{2}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 4.1.24

${(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$f' (t) = - \frac{t^{2}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.25

公分母の分子をまとめます。

$f' (t) = \frac{- t^{2} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.26

指数を足して ${(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に ${(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.26.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (t) = \frac{- t^{2} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.26.2

公分母の分子をまとめます。

$f' (t) = \frac{- t^{2} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.26.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (t) = \frac{- t^{2} + {(25 - t^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.26.4

$2$ を $2$ で割ります。

$f' (t) = \frac{- t^{2} + 25 - t^{2}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.27

${(25 - t^{2})}^{1}$ を簡約します。

$f' (t) = \frac{- t^{2} + 25 - t^{2}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.28

$- t^{2}$ から $t^{2}$ を引きます。

$f' (t) = \frac{- 2 t^{2} + 25}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.1.29

項を並べ替えます。

$f' (t) = \frac{- 2 t^{2} + 25}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.2

$t$ に関する $f (t)$ の一次導関数は $\frac{- 2 t^{2} + 25}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ です。

$\frac{- 2 t^{2} + 25}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{- 2 t^{2} + 25}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{- 2 t^{2} + 25}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 5.2

分子を0に等しくします。

$- 2 t^{2} + 25 = 0$

ステップ 5.3

$t$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

方程式の両辺から $25$ を引きます。

$- 2 t^{2} = - 25$

ステップ 5.3.2

$- 2 t^{2} = - 25$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$- 2 t^{2} = - 25$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 t^{2}}{- 2} = \frac{- 25}{- 2}$

ステップ 5.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 t^{2}}{- 2} = \frac{- 25}{- 2}$

ステップ 5.3.2.2.1.2

$t^{2}$ を $1$ で割ります。

$t^{2} = \frac{- 25}{- 2}$

ステップ 5.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$t^{2} = \frac{25}{2}$

ステップ 5.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{\frac{25}{2}}$

ステップ 5.3.4

$\pm \sqrt{\frac{25}{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

$\sqrt{\frac{25}{2}}$ を $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$t = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2}}$

ステップ 5.3.4.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.2.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$t = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{2}}$

ステップ 5.3.4.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$t = \pm \frac{5}{\sqrt{2}}$

ステップ 5.3.4.3

$\frac{5}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$t = \pm \frac{5}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 5.3.4.4

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.4.1

$\frac{5}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$t = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 5.3.4.4.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$t = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 5.3.4.4.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$t = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 5.3.4.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$t = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 5.3.4.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$t = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 5.3.4.4.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$t = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 5.3.4.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$t = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 5.3.4.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$t = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.4.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$t = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.4.4.6.4.2

式を書き換えます。

$t = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 5.3.4.4.6.5

指数を求めます。

$t = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 5.3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$t = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 5.3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$t = - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 5.3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$t = \frac{5 \sqrt{2}}{2}, - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{- 2 t^{2} + 25}{\sqrt{{(- t^{2} + 25)}^{1}}}$

ステップ 6.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$\frac{- 2 t^{2} + 25}{\sqrt{- t^{2} + 25}}$

ステップ 6.2

$\frac{- 2 t^{2} + 25}{\sqrt{- t^{2} + 25}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt{- t^{2} + 25} = 0$

ステップ 6.3

$t$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{- t^{2} + 25}}^{2} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{- t^{2} + 25}$ を ${(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1

${({(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.1

${({(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(- t^{2} + 25)}^{1} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2.1.2

簡約します。

$- t^{2} + 25 = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- t^{2} + 25 = 0$

ステップ 6.3.3

$t$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1

方程式の両辺から $25$ を引きます。

$- t^{2} = - 25$

ステップ 6.3.3.2

$- t^{2} = - 25$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.2.1

$- t^{2} = - 25$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- t^{2}}{- 1} = \frac{- 25}{- 1}$

ステップ 6.3.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{t^{2}}{1} = \frac{- 25}{- 1}$

ステップ 6.3.3.2.2.2

$t^{2}$ を $1$ で割ります。

$t^{2} = \frac{- 25}{- 1}$

ステップ 6.3.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.2.3.1

$- 25$ を $- 1$ で割ります。

$t^{2} = 25$

ステップ 6.3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{25}$

ステップ 6.3.3.4

$\pm \sqrt{25}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.4.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$t = \pm \sqrt{5^{2}}$

ステップ 6.3.3.4.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$t = \pm 5$

ステップ 6.3.3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$t = 5$

ステップ 6.3.3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$t = - 5$

ステップ 6.3.3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$t = 5, - 5$

ステップ 6.4

$\sqrt{- t^{2} + 25}$ の被開数を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$- t^{2} + 25 < 0$

ステップ 6.5

$t$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

不等式の両辺から $25$ を引きます。

$- t^{2} < - 25$

ステップ 6.5.2

$- t^{2} < - 25$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.1

$- t^{2} < - 25$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- t^{2}}{- 1} > \frac{- 25}{- 1}$

ステップ 6.5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{t^{2}}{1} > \frac{- 25}{- 1}$

ステップ 6.5.2.2.2

$t^{2}$ を $1$ で割ります。

$t^{2} > \frac{- 25}{- 1}$

ステップ 6.5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.3.1

$- 25$ を $- 1$ で割ります。

$t^{2} > 25$

ステップ 6.5.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{t^{2}} > \sqrt{25}$

ステップ 6.5.4

方程式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.4.1.1

累乗根の下から項を取り出します。

$| t | > \sqrt{25}$

ステップ 6.5.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.4.2.1

$\sqrt{25}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.4.2.1.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$| t | > \sqrt{5^{2}}$

ステップ 6.5.4.2.1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$| t | > | 5 |$

ステップ 6.5.4.2.1.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $5$ の間の距離は $5$ です。

$| t | > 5$

ステップ 6.5.5

$| t | > 5$ を区分で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.5.1

1番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負でない場所を求めます。

$t \geq 0$

ステップ 6.5.5.2

$t$ が負でない区分では、絶対値を削除します。

$t > 5$

ステップ 6.5.5.3

2番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負になる場所を求めます。

$t < 0$

ステップ 6.5.5.4

$t$ が負である区分では、絶対値を取り除き $- 1$ を掛けます。

$- t > 5$

ステップ 6.5.5.5

区分で書きます。

${\begin{cases} t > 5 & t \geq 0 \\ - t > 5 & t < 0 \end{cases}$

ステップ 6.5.6

$t > 5$ と $t \geq 0$ の交点を求めます。

$t > 5$

ステップ 6.5.7

$- t > 5$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.7.1

$- t > 5$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- t}{- 1} < \frac{5}{- 1}$

ステップ 6.5.7.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.7.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{t}{1} < \frac{5}{- 1}$

ステップ 6.5.7.2.2

$t$ を $1$ で割ります。

$t < \frac{5}{- 1}$

ステップ 6.5.7.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.7.3.1

$5$ を $- 1$ で割ります。

$t < - 5$

ステップ 6.5.8

解の和集合を求めます。

$t < - 5$ または $t > 5$

ステップ 6.6

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$t \leq - 5, t \geq 5$

$(- \infty, - 5] \cup [5, \infty)$

$t \leq - 5, t \geq 5$

$(- \infty, - 5] \cup [5, \infty)$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$t = \frac{5 \sqrt{2}}{2}, - \frac{5 \sqrt{2}}{2}, - 5, 5$

ステップ 8

$t = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{(\frac{5 \sqrt{2}}{2}) (2 {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1.1

積の法則を $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{{(5 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.1.2

積の法則を $5 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.2.1

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.2.2

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.2.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.2.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.2.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.2.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.2.2.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 \cdot 2^{1}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.2.2.5

指数を求めます。

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 \cdot 2}{2^{2}} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 \cdot 2}{4} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.4

$25$ に $2$ をかけます。

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 (\frac{50}{4}) - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.5.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{50}{2 (2)} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.5.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{50}{2 \cdot 2} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.5.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (\frac{50}{2} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.6

$50$ を $2$ で割ります。

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (25 - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.7

$25$ から $75$ を引きます。

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1.1.1

積の法則を $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{{(5 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.2.1.1.2

積の法則を $5 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.2.1.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1.2.1

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{25 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.2.1.2.2

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1.2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.2.1.2.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.2.1.2.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.2.1.2.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1.2.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.2.1.2.2.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{25 \cdot 2^{1}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.2.1.2.2.5

指数を求めます。

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{25 \cdot 2}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.2.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{25 \cdot 2}{4} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.2.1.4

$25$ に $2$ をかけます。

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{50}{4} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.2.1.5

$50$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1.5.1

$2$ を $50$ で因数分解します。

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{2 (25)}{4} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.2.1.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1.5.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.2.1.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.2.1.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{25}{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.2.2

$25$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{25}{2} + 25 \cdot \frac{2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.2.3

$25$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{25}{2} + \frac{25 \cdot 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(\frac{- 25 + 25 \cdot 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.5.1

$25$ に $2$ をかけます。

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(\frac{- 25 + 50}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.2.5.2

$- 25$ と $50$ をたし算します。

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(\frac{25}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.2.6

積の法則を $\frac{25}{2}$ に当てはめます。

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{\frac{25^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}}$

ステップ 9.2.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.7.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{\frac{{(5^{2})}^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}}$

ステップ 9.2.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{\frac{5^{2 (\frac{3}{2})}}{2^{\frac{3}{2}}}}$

ステップ 9.2.7.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.7.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{\frac{5^{2 (\frac{3}{2})}}{2^{\frac{3}{2}}}}$

ステップ 9.2.7.3.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{\frac{5^{3}}{2^{\frac{3}{2}}}}$

ステップ 9.2.7.4

$5$ を $3$ 乗します。

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{\frac{125}{2^{\frac{3}{2}}}}$

ステップ 9.3

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

$\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ と $- 50$ をまとめます。

$\frac{\frac{5 \sqrt{2} \cdot - 50}{2}}{\frac{125}{2^{\frac{3}{2}}}}$

ステップ 9.3.2

$- 50$ に $5$ をかけます。

$\frac{\frac{- 250 \sqrt{2}}{2}}{\frac{125}{2^{\frac{3}{2}}}}$

ステップ 9.4

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.1

今日数因数で約分することで式 $\frac{- 250 \sqrt{2}}{2}$ を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.1.1

$2$ を $- 250 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{2 (- 125 \sqrt{2})}{2}}{\frac{125}{2^{\frac{3}{2}}}}$

ステップ 9.4.1.2

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{\frac{2 (- 125 \sqrt{2})}{2 (1)}}{\frac{125}{2^{\frac{3}{2}}}}$

ステップ 9.4.1.3

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{2 (- 125 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}}{\frac{125}{2^{\frac{3}{2}}}}$

ステップ 9.4.1.4

式を書き換えます。

$\frac{\frac{- 125 \sqrt{2}}{1}}{\frac{125}{2^{\frac{3}{2}}}}$

ステップ 9.4.2

$- 125 \sqrt{2}$ を $1$ で割ります。

$\frac{- 125 \sqrt{2}}{\frac{125}{2^{\frac{3}{2}}}}$

ステップ 9.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$- 125 \sqrt{2} \frac{2^{\frac{3}{2}}}{125}$

ステップ 9.6

$125$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.6.1

$125$ を $- 125 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$125 (- \sqrt{2}) \frac{2^{\frac{3}{2}}}{125}$

ステップ 9.6.2

共通因数を約分します。

$125 (- \sqrt{2}) \frac{2^{\frac{3}{2}}}{125}$

ステップ 9.6.3

式を書き換えます。

$- \sqrt{2} \cdot 2^{\frac{3}{2}}$

ステップ 9.7

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- (2^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}})$

ステップ 9.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 2^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}}$

ステップ 9.9

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.9.1

公分母の分子をまとめます。

$- 2^{\frac{3 + 1}{2}}$

ステップ 9.9.2

$3$ と $1$ をたし算します。

$- 2^{\frac{4}{2}}$

ステップ 9.10

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.10.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$- 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}}$

ステップ 9.10.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.10.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}$

ステップ 9.10.2.2

共通因数を約分します。

$- 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}$

ステップ 9.10.2.3

式を書き換えます。

$- 2^{\frac{2}{1}}$

ステップ 9.10.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$- 2^{2}$

ステップ 9.11

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.11.1

$2$ を $2$ 乗します。

$- 1 \cdot 4$

ステップ 9.11.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$- 4$

ステップ 10

$t = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$t = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ は極大値です

ステップ 11

$t = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $t$ を $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ で置換えます。

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) \sqrt{25 - {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

積の法則を $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{{(5 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}}}$

ステップ 11.2.1.2

積の法則を $5 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

ステップ 11.2.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

$5$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

ステップ 11.2.2.2

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

ステップ 11.2.2.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

ステップ 11.2.2.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

ステップ 11.2.2.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.2.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

ステップ 11.2.2.2.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 2}{2^{2}}}$

ステップ 11.2.2.2.5

指数を求めます。

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 2}{2^{2}}}$

ステップ 11.2.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.3.1

$2$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 2}{4}}$

ステップ 11.2.3.2

$25$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{50}{4}}$

ステップ 11.2.3.3

$50$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.3.3.1

$2$ を $50$ で因数分解します。

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{2 (25)}{4}}$

ステップ 11.2.3.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.3.3.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2}}$

ステップ 11.2.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2}}$

ステップ 11.2.3.3.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25}{2}}$

ステップ 11.2.4

$25$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 \cdot \frac{2}{2} - \frac{25}{2}}$

ステップ 11.2.5

$25$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{25 \cdot 2}{2} - \frac{25}{2}}$

ステップ 11.2.6

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{25 \cdot 2 - 25}{2}}$

ステップ 11.2.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.7.1

$25$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{50 - 25}{2}}$

ステップ 11.2.7.2

$50$ から $25$ を引きます。

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{25}{2}}$

ステップ 11.2.8

$\sqrt{\frac{25}{2}}$ を $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2}}$

ステップ 11.2.9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.9.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{2}}$

ステップ 11.2.9.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{5}{\sqrt{2}}$

ステップ 11.2.10

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.10.1

$\sqrt{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.10.1.1

$\sqrt{2}$ を $5 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2} \cdot 5}{2} \cdot \frac{5}{\sqrt{2}}$

ステップ 11.2.10.1.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2} \cdot 5}{2} \cdot \frac{5}{\sqrt{2}}$

ステップ 11.2.10.1.3

式を書き換えます。

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5}{2} \cdot 5$

ステップ 11.2.10.2

$\frac{5}{2}$ と $5$ をまとめます。

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \cdot 5}{2}$

ステップ 11.2.10.3

$5$ に $5$ をかけます。

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{25}{2}$

ステップ 11.2.11

最終的な答えは $\frac{25}{2}$ です。

$y = \frac{25}{2}$

ステップ 12

$t = - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{(- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) (2 {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1.1

積の法則を $- \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2}) - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.1.1.2

積の法則を $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 ({(- 1)}^{2} \frac{{(5 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}}) - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.1.1.3

積の法則を $5 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 (1 \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.1.3

$\frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.1.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.4.1

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.1.4.2

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.4.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.1.4.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.1.4.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.1.4.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.4.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.1.4.2.4.2

式を書き換えます。

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 \cdot 2^{1}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.1.4.2.5

指数を求めます。

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 \cdot 2}{2^{2}} - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.1.5

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 \cdot 2}{4} - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.1.6

$25$ に $2$ をかけます。

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 (\frac{50}{4}) - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.1.7

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.7.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{50}{2 (2)} - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.1.7.2

共通因数を約分します。

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{50}{2 \cdot 2} - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.1.7.3

式を書き換えます。

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (\frac{50}{2} - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.1.8

$50$ を $2$ で割ります。

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (25 - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.1.9

$25$ から $75$ を引きます。

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.1.10

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.10.1

$- 50$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{50 \frac{5 \sqrt{2}}{2}}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.1.10.2

$50$ と $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{\frac{50 (5 \sqrt{2})}{2}}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.1.10.3

$5$ に $50$ をかけます。

$\frac{\frac{250 \sqrt{2}}{2}}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.1.11

$250$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.11.1

$2$ を $250 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{2 (125 \sqrt{2})}{2}}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.1.11.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.11.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{\frac{2 (125 \sqrt{2})}{2 (1)}}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.1.11.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{2 (125 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.1.11.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{125 \sqrt{2}}{1}}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.1.11.2.4

$125 \sqrt{2}$ を $1$ で割ります。

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- ({(- 1)}^{2} {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2}) + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.1.1.2

積の法則を $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- ({(- 1)}^{2} \frac{{(5 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}}) + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.1.1.3

積の法則を $5 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.1.2

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.2.1

${(- 1)}^{2}$ を移動させます。

$\frac{125 \sqrt{2}}{{({(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.1.2.2

${(- 1)}^{2}$ に $- 1$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.2.2.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

$\frac{125 \sqrt{2}}{{({(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{125 \sqrt{2}}{{({(- 1)}^{2 + 1} \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.1.2.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{125 \sqrt{2}}{{({(- 1)}^{3} \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.1.3

$- 1$ を $3$ 乗します。

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.1.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.4.1

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{25 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.1.4.2

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.4.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.1.4.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.1.4.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.1.4.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.4.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.1.4.2.4.2

式を書き換えます。

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{25 \cdot 2^{1}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.1.4.2.5

指数を求めます。

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{25 \cdot 2}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.1.5

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{25 \cdot 2}{4} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.1.6

$25$ に $2$ をかけます。

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{50}{4} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.1.7

$50$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.7.1

$2$ を $50$ で因数分解します。

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{2 (25)}{4} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.1.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.7.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.1.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.1.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{25}{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.2

$25$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{25}{2} + 25 \cdot \frac{2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.3

$25$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{25}{2} + \frac{25 \cdot 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(\frac{- 25 + 25 \cdot 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.5.1

$25$ に $2$ をかけます。

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(\frac{- 25 + 50}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.5.2

$- 25$ と $50$ をたし算します。

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(\frac{25}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13.2.6

積の法則を $\frac{25}{2}$ に当てはめます。

$\frac{125 \sqrt{2}}{\frac{25^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}}$

ステップ 13.2.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.7.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\frac{125 \sqrt{2}}{\frac{{(5^{2})}^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}}$

ステップ 13.2.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{125 \sqrt{2}}{\frac{5^{2 (\frac{3}{2})}}{2^{\frac{3}{2}}}}$

ステップ 13.2.7.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.7.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{125 \sqrt{2}}{\frac{5^{2 (\frac{3}{2})}}{2^{\frac{3}{2}}}}$

ステップ 13.2.7.3.2

式を書き換えます。

$\frac{125 \sqrt{2}}{\frac{5^{3}}{2^{\frac{3}{2}}}}$

ステップ 13.2.7.4

$5$ を $3$ 乗します。

$\frac{125 \sqrt{2}}{\frac{125}{2^{\frac{3}{2}}}}$

ステップ 13.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$125 \sqrt{2} \frac{2^{\frac{3}{2}}}{125}$

ステップ 13.4

$125$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.4.1

$125$ を $125 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$125 (\sqrt{2}) \frac{2^{\frac{3}{2}}}{125}$

ステップ 13.4.2

共通因数を約分します。

$125 \sqrt{2} \frac{2^{\frac{3}{2}}}{125}$

ステップ 13.4.3

式を書き換えます。

$\sqrt{2} \cdot 2^{\frac{3}{2}}$

ステップ 13.5

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{3}{2}}$

ステップ 13.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}}$

ステップ 13.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.7.1

公分母の分子をまとめます。

$2^{\frac{1 + 3}{2}}$

ステップ 13.7.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$2^{\frac{4}{2}}$

ステップ 13.8

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.8.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2}}$

ステップ 13.8.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.8.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}$

ステップ 13.8.2.2

共通因数を約分します。

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}$

ステップ 13.8.2.3

式を書き換えます。

$2^{\frac{2}{1}}$

ステップ 13.8.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$2^{2}$

ステップ 13.9

$2$ を $2$ 乗します。

$4$

ステップ 14

$t = - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$t = - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ は極小値です

ステップ 15

$t = - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $t$ を $- \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ で置換えます。

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) \sqrt{25 - {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1

積の法則を $- \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - ({(- 1)}^{2} {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2})}$

ステップ 15.2.1.2

積の法則を $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - ({(- 1)}^{2} (\frac{{(5 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}}))}$

ステップ 15.2.1.3

積の法則を $5 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - ({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))}$

ステップ 15.2.2

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.1

${(- 1)}^{2}$ を移動させます。

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

ステップ 15.2.2.2

${(- 1)}^{2}$ に $- 1$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.2.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))}$

ステップ 15.2.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 + {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

ステップ 15.2.2.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 + {(- 1)}^{3} (\frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

ステップ 15.2.3

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

ステップ 15.2.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.4.1

$5$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

ステップ 15.2.4.2

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.4.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

ステップ 15.2.4.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

ステップ 15.2.4.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

ステップ 15.2.4.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.4.2.4.1

共通因数を約分します。

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

ステップ 15.2.4.2.4.2

式を書き換えます。

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 2}{2^{2}}}$

ステップ 15.2.4.2.5

指数を求めます。

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 2}{2^{2}}}$

ステップ 15.2.5

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.5.1

$2$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 2}{4}}$

ステップ 15.2.5.2

$25$ に $2$ をかけます。

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{50}{4}}$

ステップ 15.2.5.3

$50$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.5.3.1

$2$ を $50$ で因数分解します。

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{2 (25)}{4}}$

ステップ 15.2.5.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.5.3.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2}}$

ステップ 15.2.5.3.2.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2}}$

ステップ 15.2.5.3.2.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25}{2}}$

ステップ 15.2.6

$25$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 \cdot \frac{2}{2} - \frac{25}{2}}$

ステップ 15.2.7

$25$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{25 \cdot 2}{2} - \frac{25}{2}}$

ステップ 15.2.8

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{25 \cdot 2 - 25}{2}}$

ステップ 15.2.9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.9.1

$25$ に $2$ をかけます。

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{50 - 25}{2}}$

ステップ 15.2.9.2

$50$ から $25$ を引きます。

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{25}{2}}$

ステップ 15.2.10

$\sqrt{\frac{25}{2}}$ を $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2}}$

ステップ 15.2.11

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.11.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{2}}$

ステップ 15.2.11.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{5}{\sqrt{2}}$

ステップ 15.2.12

項を簡約します。

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ステップ 15.2.12.1

$\sqrt{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.12.1.1

$- \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{- 5 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{5}{\sqrt{2}}$

ステップ 15.2.12.1.2

$\sqrt{2}$ を $- 5 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2} \cdot - 5}{2} \cdot \frac{5}{\sqrt{2}}$

ステップ 15.2.12.1.3

共通因数を約分します。

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2} \cdot - 5}{2} \cdot \frac{5}{\sqrt{2}}$

ステップ 15.2.12.1.4

式を書き換えます。

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{- 5}{2} \cdot 5$

ステップ 15.2.12.2

$\frac{- 5}{2}$ と $5$ をまとめます。

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{- 5 \cdot 5}{2}$

ステップ 15.2.12.3

式を簡約します。

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ステップ 15.2.12.3.1

$- 5$ に $5$ をかけます。

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{- 25}{2}$

ステップ 15.2.12.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{25}{2}$

ステップ 15.2.13

最終的な答えは $- \frac{25}{2}$ です。

$y = - \frac{25}{2}$

ステップ 16

$t = - 5$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{(- 5) (2 {(- 5)}^{2} - 75)}{{(- {(- 5)}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 17

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 17.1

各項を簡約します。

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ステップ 17.1.1

$- 5$ を $2$ 乗します。

$\frac{(- 5) (2 {(- 5)}^{2} - 75)}{{(- 1 \cdot 25 + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 17.1.2

$- 1$ に $25$ をかけます。

$\frac{(- 5) (2 {(- 5)}^{2} - 75)}{{(- 25 + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 17.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 17.2.1

$- 25$ と $25$ をたし算します。

$\frac{(- 5) (2 {(- 5)}^{2} - 75)}{0^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 17.2.2

式を簡約します。

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ステップ 17.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(- 5) (2 {(- 5)}^{2} - 75)}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 17.2.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{(- 5) (2 {(- 5)}^{2} - 75)}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

ステップ 17.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{(- 5) (2 {(- 5)}^{2} - 75)}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

ステップ 17.2.3.2

式を書き換えます。

$\frac{(- 5) (2 {(- 5)}^{2} - 75)}{0^{3}}$

ステップ 17.2.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{(- 5) (2 {(- 5)}^{2} - 75)}{0}$

ステップ 17.2.5

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{(- 5) (2 {(- 5)}^{2} - 75)}{0}$

ステップ 17.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 18

一次導関数検定ができなかったので、極値はありません。

極値がありません

ステップ 19

微分積分 例

微分積分例