微分積分例

$f (x) = (x - 1) e^{x}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = x - 1$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$(x - 1) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$(x - 1) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x - 1) e^{x} + e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 1.3.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$(x - 1) e^{x} + e^{x} (1 + 0)$

ステップ 1.3.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$(x - 1) e^{x} + e^{x} \cdot 1$

ステップ 1.3.4.2

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$(x - 1) e^{x} + e^{x}$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

分配則を当てはめます。

$x e^{x} - 1 e^{x} + e^{x}$

ステップ 1.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$- 1 e^{x}$ を $- e^{x}$ に書き換えます。

$x e^{x} - e^{x} + e^{x}$

ステップ 1.4.2.2

$- e^{x}$ と $e^{x}$ をたし算します。

$x e^{x} + 0$

ステップ 1.4.2.3

$x e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$x e^{x}$

ステップ 1.4.3

$x e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$e^{x} x$

ステップ 1.4.4

$e^{x} x$ の因数を並べ替えます。

$x e^{x}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.3

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

ステップ 2.3.2

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$x e^{x} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$(x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 4.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$(x - 1) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 4.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$(x - 1) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 4.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x - 1) e^{x} + e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 4.1.3.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$(x - 1) e^{x} + e^{x} (1 + 0)$

ステップ 4.1.3.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$(x - 1) e^{x} + e^{x} \cdot 1$

ステップ 4.1.3.4.2

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$(x - 1) e^{x} + e^{x}$

ステップ 4.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

分配則を当てはめます。

$x e^{x} - 1 e^{x} + e^{x}$

ステップ 4.1.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.2.1

$- 1 e^{x}$ を $- e^{x}$ に書き換えます。

$x e^{x} - e^{x} + e^{x}$

ステップ 4.1.4.2.2

$- e^{x}$ と $e^{x}$ をたし算します。

$x e^{x} + 0$

ステップ 4.1.4.2.3

$x e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$x e^{x}$

ステップ 4.1.4.3

$x e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$e^{x} x$

ステップ 4.1.4.4

$e^{x} x$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = x e^{x}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $x e^{x}$ です。

$x e^{x}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $x e^{x} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$x e^{x} = 0$

ステップ 5.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$e^{x} = 0$

ステップ 5.3

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 5.4

$e^{x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$e^{x}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{x} = 0$

ステップ 5.4.2

$x$ について $e^{x} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.4.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

ステップ 5.4.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 5.4.2.3

$e^{x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 5.5

最終解は $x e^{x} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$(0) e^{0} + e^{0}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$0 \cdot 1 + e^{0}$

ステップ 9.1.2

$0$ に $1$ をかけます。

$0 + e^{0}$

ステップ 9.1.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$0 + 1$

ステップ 9.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

ステップ 10

$x = 0$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極小値です

ステップ 11

$x = 0$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = ((0) - 1) \cdot e^{0}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

$0$ から $1$ を引きます。

$f (0) = - 1 \cdot e^{0}$

ステップ 11.2.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$f (0) = - 1 \cdot 1$

ステップ 11.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (0) = - 1$

ステップ 11.2.4

最終的な答えは $- 1$ です。

$y = - 1$

ステップ 12

$f (x) = (x - 1) e^{x}$ の極値です。

$(0, - 1)$ は極小値です

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例