微分積分例

$3 x^{4} - 96 x + 7$

ステップ 1

$3 x^{4} - 96 x + 7$ を関数で書きます。

$f (x) = 3 x^{4} - 96 x + 7$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $3 x^{4} - 96 x + 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{4}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 2.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 2.2.3

$4$ に $3$ をかけます。

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 96 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 96$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 96 x$ の微分係数は $- 96 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$12 x^{3} - 96 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x^{3} - 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 2.3.3

$- 96$ に $1$ をかけます。

$12 x^{3} - 96 + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$12 x^{3} - 96 + 0$

ステップ 2.4.2

$12 x^{3} - 96$ と $0$ をたし算します。

$12 x^{3} - 96$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $12 x^{3} - 96$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 96]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 96)$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x^{3}$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 96)$

ステップ 3.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96)$

ステップ 3.2.3

$3$ に $12$ をかけます。

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 96)$

ステップ 3.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- 96$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 96$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 36 x^{2} + 0$

ステップ 3.3.2

$36 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 36 x^{2}$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$12 x^{3} - 96 = 0$

ステップ 5

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

総和則では、 $3 x^{4} - 96 x + 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 5.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{4}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 5.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 5.1.2.3

$4$ に $3$ をかけます。

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 5.1.3

$\frac{d}{d x} [- 96 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

$- 96$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 96 x$ の微分係数は $- 96 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$12 x^{3} - 96 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 5.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x^{3} - 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 5.1.3.3

$- 96$ に $1$ をかけます。

$12 x^{3} - 96 + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 5.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.1

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$12 x^{3} - 96 + 0$

ステップ 5.1.4.2

$12 x^{3} - 96$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 12 x^{3} - 96$

ステップ 5.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $12 x^{3} - 96$ です。

$12 x^{3} - 96$

ステップ 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $12 x^{3} - 96 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$12 x^{3} - 96 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺に $96$ を足します。

$12 x^{3} = 96$

ステップ 6.3

方程式の両辺から $96$ を引きます。

$12 x^{3} - 96 = 0$

ステップ 6.4

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$12$ を $12 x^{3} - 96$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1.1

$12$ を $12 x^{3}$ で因数分解します。

$12 (x^{3}) - 96 = 0$

ステップ 6.4.1.2

$12$ を $- 96$ で因数分解します。

$12 x^{3} + 12 \cdot - 8 = 0$

ステップ 6.4.1.3

$12$ を $12 x^{3} + 12 \cdot - 8$ で因数分解します。

$12 (x^{3} - 8) = 0$

ステップ 6.4.2

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$12 (x^{3} - 2^{3}) = 0$

ステップ 6.4.3

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$12 ((x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

ステップ 6.4.4

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.4.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.4.1.1

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$12 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2})) = 0$

ステップ 6.4.4.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$12 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)) = 0$

ステップ 6.4.4.2

不要な括弧を削除します。

$12 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

ステップ 6.5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

ステップ 6.6

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 6.6.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 6.7

$x^{2} + 2 x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.1

$x^{2} + 2 x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

ステップ 6.7.2

$x$ について $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 6.7.2.2

$a = 1$ 、 $b = 2$ 、および $c = 4$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.2.3.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.2.3.1.2.2

$- 4$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.2.3.1.3

$4$ から $16$ を引きます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.2.3.1.4

$- 12$ を $- 1 (12)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.2.3.1.7

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.2.3.1.7.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.2.3.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.2.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.2.3.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 6.7.2.3.3

$\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

ステップ 6.7.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.2.4.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.2.4.1.2.2

$- 4$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.2.4.1.3

$4$ から $16$ を引きます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.2.4.1.4

$- 12$ を $- 1 (12)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.2.4.1.7

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.2.4.1.7.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.2.4.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.2.4.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.2.4.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 6.7.2.4.3

$\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

ステップ 6.7.2.4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

ステップ 6.7.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.2.5.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.2.5.1.2.2

$- 4$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.2.5.1.3

$4$ から $16$ を引きます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.2.5.1.4

$- 12$ を $- 1 (12)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.2.5.1.7

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.2.5.1.7.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.2.5.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.2.5.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.2.5.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 6.7.2.5.3

$\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

ステップ 6.7.2.5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

ステップ 6.7.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

ステップ 6.8

最終解は $12 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

ステップ 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 8

値を求める臨界点です。

$x = 2$

ステップ 9

$x = 2$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$36 {(2)}^{2}$

ステップ 10

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$2$ を $2$ 乗します。

$36 \cdot 4$

ステップ 10.2

$36$ に $4$ をかけます。

$144$

ステップ 11

$x = 2$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 2$ は極小値です

ステップ 12

$x = 2$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = 3 {(2)}^{4} - 96 \cdot 2 + 7$

ステップ 12.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.1

$2$ を $4$ 乗します。

$f (2) = 3 \cdot 16 - 96 \cdot 2 + 7$

ステップ 12.2.1.2

$3$ に $16$ をかけます。

$f (2) = 48 - 96 \cdot 2 + 7$

ステップ 12.2.1.3

$- 96$ に $2$ をかけます。

$f (2) = 48 - 192 + 7$

ステップ 12.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.2.1

$48$ から $192$ を引きます。

$f (2) = - 144 + 7$

ステップ 12.2.2.2

$- 144$ と $7$ をたし算します。

$f (2) = - 137$

ステップ 12.2.3

最終的な答えは $- 137$ です。

$y = - 137$

ステップ 13

$f (x) = 3 x^{4} - 96 x + 7$ の極値です。

$(2, - 137)$ は極小値です

ステップ 14

微分積分 例

微分積分例