微分積分例

$12 x^{2} - 176 x + 484$

ステップ 1

$12 x^{2} - 176 x + 484$ を関数で書きます。

$f (x) = 12 x^{2} - 176 x + 484$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $12 x^{2} - 176 x + 484$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 176 x] + \frac{d}{d x} [484]$ です。

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 176 x] + \frac{d}{d x} [484]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x^{2}$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 176 x] + \frac{d}{d x} [484]$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 176 x] + \frac{d}{d x} [484]$

ステップ 2.2.3

$2$ に $12$ をかけます。

$24 x + \frac{d}{d x} [- 176 x] + \frac{d}{d x} [484]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 176 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 176$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 176 x$ の微分係数は $- 176 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$24 x - 176 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [484]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$24 x - 176 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [484]$

ステップ 2.3.3

$- 176$ に $1$ をかけます。

$24 x - 176 + \frac{d}{d x} [484]$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$484$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $484$ の微分係数は $0$ です。

$24 x - 176 + 0$

ステップ 2.4.2

$24 x - 176$ と $0$ をたし算します。

$24 x - 176$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $24 x - 176$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 176]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (- 176)$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [24 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $24 x$ の微分係数は $24 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 24 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 176)$

ステップ 3.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 176)$

ステップ 3.2.3

$24$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 24 + \frac{d}{d x} (- 176)$

ステップ 3.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- 176$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 176$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 24 + 0$

ステップ 3.3.2

$24$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 24$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$24 x - 176 = 0$

ステップ 5

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

総和則では、 $12 x^{2} - 176 x + 484$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 176 x] + \frac{d}{d x} [484]$ です。

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 176 x] + \frac{d}{d x} [484]$

ステップ 5.1.2

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x^{2}$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 176 x] + \frac{d}{d x} [484]$

ステップ 5.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 176 x] + \frac{d}{d x} [484]$

ステップ 5.1.2.3

$2$ に $12$ をかけます。

$24 x + \frac{d}{d x} [- 176 x] + \frac{d}{d x} [484]$

ステップ 5.1.3

$\frac{d}{d x} [- 176 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

$- 176$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 176 x$ の微分係数は $- 176 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$24 x - 176 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [484]$

ステップ 5.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$24 x - 176 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [484]$

ステップ 5.1.3.3

$- 176$ に $1$ をかけます。

$24 x - 176 + \frac{d}{d x} [484]$

ステップ 5.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 5.1.4.1

$484$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $484$ の微分係数は $0$ です。

$24 x - 176 + 0$

ステップ 5.1.4.2

$24 x - 176$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 24 x - 176$

ステップ 5.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $24 x - 176$ です。

$24 x - 176$

ステップ 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $24 x - 176 = 0$ を解きます。

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ステップ 6.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$24 x - 176 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺に $176$ を足します。

$24 x = 176$

ステップ 6.3

$24 x = 176$ の各項を $24$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.3.1

$24 x = 176$ の各項を $24$ で割ります。

$\frac{24 x}{24} = \frac{176}{24}$

ステップ 6.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

$24$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{24 x}{24} = \frac{176}{24}$

ステップ 6.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{176}{24}$

ステップ 6.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1

$176$ と $24$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1.1

$8$ を $176$ で因数分解します。

$x = \frac{8 (22)}{24}$

ステップ 6.3.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1.2.1

$8$ を $24$ で因数分解します。

$x = \frac{8 \cdot 22}{8 \cdot 3}$

ステップ 6.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{8 \cdot 22}{8 \cdot 3}$

ステップ 6.3.3.1.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{22}{3}$

ステップ 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 7.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 8

値を求める臨界点です。

$x = \frac{22}{3}$

ステップ 9

$x = \frac{22}{3}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$24$

ステップ 10

$x = \frac{22}{3}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{22}{3}$ は極小値です

ステップ 11

$x = \frac{22}{3}$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $\frac{22}{3}$ で置換えます。

$f (\frac{22}{3}) = 12 {(\frac{22}{3})}^{2} - 176 (\frac{22}{3}) + 484$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

積の法則を $\frac{22}{3}$ に当てはめます。

$f (\frac{22}{3}) = 12 (\frac{22^{2}}{3^{2}}) - 176 (\frac{22}{3}) + 484$

ステップ 11.2.1.2

$22$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{22}{3}) = 12 (\frac{484}{3^{2}}) - 176 (\frac{22}{3}) + 484$

ステップ 11.2.1.3

$3$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{22}{3}) = 12 (\frac{484}{9}) - 176 (\frac{22}{3}) + 484$

ステップ 11.2.1.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.4.1

$3$ を $12$ で因数分解します。

$f (\frac{22}{3}) = 3 (4) (\frac{484}{9}) - 176 (\frac{22}{3}) + 484$

ステップ 11.2.1.4.2

$3$ を $9$ で因数分解します。

$f (\frac{22}{3}) = 3 \cdot (4 (\frac{484}{3 \cdot 3})) - 176 (\frac{22}{3}) + 484$

ステップ 11.2.1.4.3

共通因数を約分します。

$f (\frac{22}{3}) = 3 \cdot (4 (\frac{484}{3 \cdot 3})) - 176 (\frac{22}{3}) + 484$

ステップ 11.2.1.4.4

式を書き換えます。

$f (\frac{22}{3}) = 4 (\frac{484}{3}) - 176 (\frac{22}{3}) + 484$

ステップ 11.2.1.5

$4$ と $\frac{484}{3}$ をまとめます。

$f (\frac{22}{3}) = \frac{4 \cdot 484}{3} - 176 (\frac{22}{3}) + 484$

ステップ 11.2.1.6

$4$ に $484$ をかけます。

$f (\frac{22}{3}) = \frac{1936}{3} - 176 (\frac{22}{3}) + 484$

ステップ 11.2.1.7

$- 176 (\frac{22}{3})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.7.1

$- 176$ と $\frac{22}{3}$ をまとめます。

$f (\frac{22}{3}) = \frac{1936}{3} + \frac{- 176 \cdot 22}{3} + 484$

ステップ 11.2.1.7.2

$- 176$ に $22$ をかけます。

$f (\frac{22}{3}) = \frac{1936}{3} + \frac{- 3872}{3} + 484$

ステップ 11.2.1.8

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{22}{3}) = \frac{1936}{3} - \frac{3872}{3} + 484$

ステップ 11.2.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{22}{3}) = 484 + \frac{1936 - 3872}{3}$

ステップ 11.2.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.2.1

$1936$ から $3872$ を引きます。

$f (\frac{22}{3}) = 484 + \frac{- 1936}{3}$

ステップ 11.2.2.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{22}{3}) = 484 - \frac{1936}{3}$

ステップ 11.2.3

$484$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f (\frac{22}{3}) = 484 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1936}{3}$

ステップ 11.2.4

$484$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f (\frac{22}{3}) = \frac{484 \cdot 3}{3} - \frac{1936}{3}$

ステップ 11.2.5

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{22}{3}) = \frac{484 \cdot 3 - 1936}{3}$

ステップ 11.2.6

分子を簡約します。

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ステップ 11.2.6.1

$484$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{22}{3}) = \frac{1452 - 1936}{3}$

ステップ 11.2.6.2

$1452$ から $1936$ を引きます。

$f (\frac{22}{3}) = \frac{- 484}{3}$

ステップ 11.2.7

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{22}{3}) = - \frac{484}{3}$

ステップ 11.2.8

最終的な答えは $- \frac{484}{3}$ です。

$y = - \frac{484}{3}$

ステップ 12

$f (x) = 12 x^{2} - 176 x + 484$ の極値です。

$(\frac{22}{3}, - \frac{484}{3})$ は極小値です

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例