微分積分例

$4 x - 64 x^{- 3}$

ステップ 1

$4 x - 64 x^{- 3}$ を関数で書きます。

$f (x) = 4 x - 64 x^{- 3}$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $4 x - 64 x^{- 3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$

ステップ 2.2.3

$4$ に $1$ をかけます。

$4 + \frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- 64$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 64 x^{- 3}$ の微分係数は $- 64 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ です。

$4 - 64 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

ステップ 2.3.2

$n = - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 - 64 (- 3 x^{- 4})$

ステップ 2.3.3

$- 3$ に $- 64$ をかけます。

$4 + 192 x^{- 4}$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

項を並べ替えます。

$192 x^{- 4} + 4$

ステップ 2.4.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$192 \frac{1}{x^{4}} + 4$

ステップ 2.4.2.2

$192$ と $\frac{1}{x^{4}}$ をまとめます。

$\frac{192}{x^{4}} + 4$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 3.1

総和則では、 $\frac{192}{x^{4}} + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{192}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{192}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [\frac{192}{x^{4}}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$192$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{192}{x^{4}}$ の微分係数は $192 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ です。

$f'' (x) = 192 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 3.2.2

$\frac{1}{x^{4}}$ を ${(x^{4})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = 192 \frac{d}{d x} ({(x^{4})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 3.2.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{4}$ とします。

$f'' (x) = 192 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 3.2.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 192 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4}) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 3.2.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{4}$ で置き換えます。

$f'' (x) = 192 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4}) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 3.2.4

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 192 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 3.2.5

${(x^{4})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = 192 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 3.2.5.2

$4$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = 192 (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 3.2.6

$4$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 192 (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 3.2.7

指数を足して $x^{- 8}$ に $x^{3}$ を掛けます。

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ステップ 3.2.7.1

$x^{3}$ を移動させます。

$f'' (x) = 192 (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 3.2.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 192 (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 3.2.7.3

$3$ から $8$ を引きます。

$f'' (x) = 192 (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 3.2.8

$- 4$ に $192$ をかけます。

$f'' (x) = - 768 x^{- 5} + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 3.3

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - 768 x^{- 5} + 0$

ステップ 3.4

簡約します。

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ステップ 3.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (x) = - 768 \frac{1}{x^{5}} + 0$

ステップ 3.4.2

項をまとめます。

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ステップ 3.4.2.1

$- 768$ と $\frac{1}{x^{5}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{- 768}{x^{5}} + 0$

ステップ 3.4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{768}{x^{5}} + 0$

ステップ 3.4.2.3

$- \frac{768}{x^{5}}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{768}{x^{5}}$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{192}{x^{4}} + 4 = 0$

ステップ 5

一次導関数が $0$ に等しくなる $x$ の値がないので、極値はありません。

極値がありません

ステップ 6

極値がありません

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例