微分積分例

$C (x) = 375 + 0.75 x^{\frac{3}{4}}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $375 + 0.75 x^{\frac{3}{4}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [375] + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [375] + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$

ステップ 1.1.2

$375$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $375$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$0.75$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $0.75 x^{\frac{3}{4}}$ の微分係数は $0.75 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$ です。

$0 + 0.75 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

ステップ 1.2.2

$n = \frac{3}{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1})$

ステップ 1.2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

ステップ 1.2.4

$- 1$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

ステップ 1.2.5

公分母の分子をまとめます。

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}})$

ステップ 1.2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 4}{4}})$

ステップ 1.2.6.2

$3$ から $4$ を引きます。

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{- 1}{4}})$

ステップ 1.2.7

分数の前に負数を移動させます。

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}})$

ステップ 1.2.8

$\frac{3}{4}$ と $x^{- \frac{1}{4}}$ をまとめます。

$0 + 0.75 \frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$

ステップ 1.2.9

$0.75$ と $\frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$ をまとめます。

$0 + \frac{0.75 (3 x^{- \frac{1}{4}})}{4}$

ステップ 1.2.10

$3$ に $0.75$ をかけます。

$0 + \frac{2.25 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$

ステップ 1.2.11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{4}}$ を分母に移動させます。

$0 + \frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$0$ と $\frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$ をたし算します。

$\frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

ステップ 1.3.2

$2.25$ を $2.25$ で因数分解します。

$\frac{2.25 (1)}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

ステップ 1.3.3

$4$ を $4 x^{\frac{1}{4}}$ で因数分解します。

$\frac{2.25 (1)}{4 (x^{\frac{1}{4}})}$

ステップ 1.3.4

分数を分解します。

$\frac{2.25}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

ステップ 1.3.5

$2.25$ を $4$ で割ります。

$0.5625 \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

ステップ 1.3.6

$0.5625$ と $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ をまとめます。

$\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$0.5625$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}}$ の微分係数は $0.5625 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}]$ です。

$C'' (x) = 0.5625 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}})$

ステップ 2.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ を ${(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$C'' (x) = 0.5625 \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1})$

ステップ 2.2.2

${(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$C'' (x) = 0.5625 \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{4} \cdot - 1})$

ステップ 2.2.2.2

$\frac{1}{4}$ と $- 1$ をまとめます。

$C'' (x) = 0.5625 \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 1}{4}})$

ステップ 2.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$C'' (x) = 0.5625 \frac{d}{d x} (x^{- \frac{1}{4}})$

ステップ 2.3

$n = - \frac{1}{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} - 1})$

ステップ 2.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

ステップ 2.5

$- 1$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

ステップ 2.6

公分母の分子をまとめます。

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 4}{4}})$

ステップ 2.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 1 - 4}{4}})$

ステップ 2.7.2

$- 1$ から $4$ を引きます。

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 5}{4}})$

ステップ 2.8

分数の前に負数を移動させます。

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{5}{4}})$

ステップ 2.9

$x^{- \frac{5}{4}}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4})$

ステップ 2.10

$- 1$ に $0.5625$ をかけます。

$C'' (x) = - 0.5625 \frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4}$

ステップ 2.11

$- 0.5625$ と $\frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4}$ をまとめます。

$C'' (x) = \frac{- 0.5625 x^{- \frac{5}{4}}}{4}$

ステップ 2.12

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{5}{4}}$ を分母に移動させます。

$C'' (x) = \frac{- 0.5625}{4 x^{\frac{5}{4}}}$

ステップ 2.12.2

分数の前に負数を移動させます。

$C'' (x) = - \frac{0.5625}{4 x^{\frac{5}{4}}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

総和則では、 $375 + 0.75 x^{\frac{3}{4}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [375] + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [375] + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$

ステップ 4.1.1.2

$375$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $375$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$0.75$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $0.75 x^{\frac{3}{4}}$ の微分係数は $0.75 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$ です。

$0 + 0.75 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

ステップ 4.1.2.2

$n = \frac{3}{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1})$

ステップ 4.1.2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

ステップ 4.1.2.4

$- 1$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

ステップ 4.1.2.5

公分母の分子をまとめます。

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}})$

ステップ 4.1.2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.6.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 4}{4}})$

ステップ 4.1.2.6.2

$3$ から $4$ を引きます。

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{- 1}{4}})$

ステップ 4.1.2.7

分数の前に負数を移動させます。

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}})$

ステップ 4.1.2.8

$\frac{3}{4}$ と $x^{- \frac{1}{4}}$ をまとめます。

$0 + 0.75 \frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$

ステップ 4.1.2.9

$0.75$ と $\frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$ をまとめます。

$0 + \frac{0.75 (3 x^{- \frac{1}{4}})}{4}$

ステップ 4.1.2.10

$3$ に $0.75$ をかけます。

$0 + \frac{2.25 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$

ステップ 4.1.2.11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{4}}$ を分母に移動させます。

$0 + \frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

ステップ 4.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$0$ と $\frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$ をたし算します。

$\frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

ステップ 4.1.3.2

$2.25$ を $2.25$ で因数分解します。

$\frac{2.25 (1)}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

ステップ 4.1.3.3

$4$ を $4 x^{\frac{1}{4}}$ で因数分解します。

$\frac{2.25 (1)}{4 (x^{\frac{1}{4}})}$

ステップ 4.1.3.4

分数を分解します。

$\frac{2.25}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

ステップ 4.1.3.5

$2.25$ を $4$ で割ります。

$0.5625 \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

ステップ 4.1.3.6

$0.5625$ と $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $C (x)$ の一次導関数は $\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}}$ です。

$\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}} = 0$

ステップ 5.2

分子を0に等しくします。

$0.5625 = 0$

ステップ 5.3

$0.5625 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

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ステップ 6.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{0.5625}{\sqrt[4]{x^{1}}}$

ステップ 6.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$\frac{0.5625}{\sqrt[4]{x}}$

ステップ 6.2

$\frac{0.5625}{\sqrt[4]{x}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt[4]{x} = 0$

ステップ 6.3

$x$ について解きます。

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ステップ 6.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を $4$ 乗します。

${\sqrt[4]{x}}^{4} = 0^{4}$

ステップ 6.3.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[4]{x}$ を $x^{\frac{1}{4}}$ に書き換えます。

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = 0^{4}$

ステップ 6.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.1

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

ステップ 6.3.2.2.1.1.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

ステップ 6.3.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{1} = 0^{4}$

ステップ 6.3.2.2.1.2

簡約します。

$x = 0^{4}$

ステップ 6.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$x = 0$

ステップ 6.4

$\sqrt[4]{x}$ の被開数を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x < 0$

ステップ 6.5

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{0.5625}{4 {(0)}^{\frac{5}{4}}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$0$ を $0^{4}$ に書き換えます。

$- \frac{0.5625}{4 {(0^{4})}^{\frac{5}{4}}}$

ステップ 9.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{0.5625}{4 \cdot 0^{4 (\frac{5}{4})}}$

ステップ 9.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

共通因数を約分します。

$- \frac{0.5625}{4 \cdot 0^{4 (\frac{5}{4})}}$

ステップ 9.2.2

式を書き換えます。

$- \frac{0.5625}{4 \cdot 0^{5}}$

ステップ 9.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- \frac{0.5625}{4 \cdot 0}$

ステップ 9.3.2

$4$ に $0$ をかけます。

$- \frac{0.5625}{0}$

ステップ 9.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$- \frac{0.5625}{0}$

ステップ 9.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 10

一次導関数検定ができなかったので、極値はありません。

極値がありません

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例