微分積分例

$f (t) = 2 \cos (t) + \sin (2 t)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $2 \cos (t) + \sin (2 t)$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [2 \cos (t)] + \frac{d}{d t} [\sin (2 t)]$ です。

$\frac{d}{d t} [2 \cos (t)] + \frac{d}{d t} [\sin (2 t)]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d t} [2 \cos (t)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 \cos (t)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ です。

$2 \frac{d}{d t} [\cos (t)] + \frac{d}{d t} [\sin (2 t)]$

ステップ 1.2.2

$t$ に関する $\cos (t)$ の微分係数は $- \sin (t)$ です。

$2 (- \sin (t)) + \frac{d}{d t} [\sin (2 t)]$

ステップ 1.2.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 \sin (t) + \frac{d}{d t} [\sin (2 t)]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$f (t) = \sin (t)$ および $g (t) = 2 t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 t$ とします。

$- 2 \sin (t) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [2 t]$

ステップ 1.3.1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$- 2 \sin (t) + \cos (u) \frac{d}{d t} [2 t]$

ステップ 1.3.1.3

$u$ のすべての発生を $2 t$ で置き換えます。

$- 2 \sin (t) + \cos (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]$

ステップ 1.3.2

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$- 2 \sin (t) + \cos (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \sin (t) + \cos (2 t) (2 \cdot 1)$

ステップ 1.3.4

$2$ に $1$ をかけます。

$- 2 \sin (t) + \cos (2 t) \cdot 2$

ステップ 1.3.5

$2$ を $\cos (2 t)$ の左に移動させます。

$- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t)$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t)$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [- 2 \sin (t)] + \frac{d}{d t} [2 \cos (2 t)]$ です。

$f'' (t) = \frac{d}{d t} (- 2 \sin (t)) + \frac{d}{d t} (2 \cos (2 t))$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d t} [- 2 \sin (t)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$- 2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- 2 \sin (t)$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d t} [\sin (t)]$ です。

$f'' (t) = - 2 \frac{d}{d t} \sin (t) + \frac{d}{d t} (2 \cos (2 t))$

ステップ 2.2.2

$t$ に関する $\sin (t)$ の微分係数は $\cos (t)$ です。

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + \frac{d}{d t} (2 \cos (2 t))$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d t} [2 \cos (2 t)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 \cos (2 t)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [\cos (2 t)]$ です。

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 \frac{d}{d t} (\cos (2 t))$

ステップ 2.3.2

$f (t) = \cos (t)$ および $g (t) = 2 t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 t$ とします。

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d t} (2 t))$

ステップ 2.3.2.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 (- \sin (u) \frac{d}{d t} (2 t))$

ステップ 2.3.2.3

$u$ のすべての発生を $2 t$ で置き換えます。

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 (- \sin (2 t) \frac{d}{d t} (2 t))$

ステップ 2.3.3

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 (- \sin (2 t) (2 \frac{d}{d t} (t)))$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 (- \sin (2 t) (2 \cdot 1))$

ステップ 2.3.5

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 (- \sin (2 t) \cdot 2)$

ステップ 2.3.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 (- 2 \sin (2 t))$

ステップ 2.3.7

$- 2$ に $2$ をかけます。

$f'' (t) = - 2 \cos (t) - 4 \sin (2 t)$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t) = 0$

ステップ 4

各項を簡約します。

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ステップ 4.1

2倍角の公式を利用して $\cos (2 x)$ を $1 - 2 \sin^{2} (x)$ に変換します。

$- 2 \sin (t) + 2 (1 - 2 \sin^{2} (t)) = 0$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$- 2 \sin (t) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (t)) = 0$

ステップ 4.3

$2$ に $1$ をかけます。

$- 2 \sin (t) + 2 + 2 (- 2 \sin^{2} (t)) = 0$

ステップ 4.4

$- 2$ に $2$ をかけます。

$- 2 \sin (t) + 2 - 4 \sin^{2} (t) = 0$

ステップ 5

$- 2 \sin (t) + 2 - 4 \sin^{2} (t)$ を因数分解します。

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ステップ 5.1

$2$ を $- 2 \sin (t) + 2 - 4 \sin^{2} (t)$ で因数分解します。

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ステップ 5.1.1

$2$ を $- 2 \sin (t)$ で因数分解します。

$2 (- \sin (t)) + 2 - 4 \sin^{2} (t) = 0$

ステップ 5.1.2

$2$ を $2$ で因数分解します。

$2 (- \sin (t)) + 2 (1) - 4 \sin^{2} (t) = 0$

ステップ 5.1.3

$2$ を $- 4 \sin^{2} (t)$ で因数分解します。

$2 (- \sin (t)) + 2 (1) + 2 (- 2 \sin^{2} (t)) = 0$

ステップ 5.1.4

$2$ を $2 (- \sin (t)) + 2 (1)$ で因数分解します。

$2 (- \sin (t) + 1) + 2 (- 2 \sin^{2} (t)) = 0$

ステップ 5.1.5

$2$ を $2 (- \sin (t) + 1) + 2 (- 2 \sin^{2} (t))$ で因数分解します。

$2 (- \sin (t) + 1 - 2 \sin^{2} (t)) = 0$

ステップ 5.2

因数分解。

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ステップ 5.2.1

群による因数分解。

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ステップ 5.2.1.1

項を並べ替えます。

$2 (- 2 \sin^{2} (t) - \sin (t) + 1) = 0$

ステップ 5.2.1.2

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 2 \cdot 1 = - 2$ で和が $b = - 1$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 5.2.1.2.1

$- 1$ を $- \sin (t)$ で因数分解します。

$2 (- 2 \sin^{2} (t) - \sin (t) + 1) = 0$

ステップ 5.2.1.2.2

$- 1$ を $1$ プラス $- 2$ に書き換える

$2 (- 2 \sin^{2} (t) + (1 - 2) \sin (t) + 1) = 0$

ステップ 5.2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$2 (- 2 \sin^{2} (t) + 1 \sin (t) - 2 \sin (t) + 1) = 0$

ステップ 5.2.1.2.4

$\sin (t)$ に $1$ をかけます。

$2 (- 2 \sin^{2} (t) + \sin (t) - 2 \sin (t) + 1) = 0$

ステップ 5.2.1.3

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 5.2.1.3.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$2 (- 2 \sin^{2} (t) + \sin (t) - 2 \sin (t) + 1) = 0$

ステップ 5.2.1.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$2 (\sin (t) (- 2 \sin (t) + 1) + 1 (- 2 \sin (t) + 1)) = 0$

ステップ 5.2.1.4

最大公約数 $- 2 \sin (t) + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$2 ((- 2 \sin (t) + 1) (\sin (t) + 1)) = 0$

ステップ 5.2.2

不要な括弧を削除します。

$2 (- 2 \sin (t) + 1) (\sin (t) + 1) = 0$

ステップ 6

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$- 2 \sin (t) + 1 = 0$

$\sin (t) + 1 = 0$

ステップ 7

$- 2 \sin (t) + 1$ を $0$ に等しくし、 $t$ を解きます。

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ステップ 7.1

$- 2 \sin (t) + 1$ が $0$ に等しいとします。

$- 2 \sin (t) + 1 = 0$

ステップ 7.2

$t$ について $- 2 \sin (t) + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 7.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- 2 \sin (t) = - 1$

ステップ 7.2.2

$- 2 \sin (t) = - 1$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$- 2 \sin (t) = - 1$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 \sin (t)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

ステップ 7.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 \sin (t)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

ステップ 7.2.2.2.1.2

$\sin (t)$ を $1$ で割ります。

$\sin (t) = \frac{- 1}{- 2}$

ステップ 7.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\sin (t) = \frac{1}{2}$

ステップ 7.2.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $t$ を取り出します。

$t = \arcsin (\frac{1}{2})$

ステップ 7.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 7.2.4.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{6}$ です。

$t = \frac{π}{6}$

ステップ 7.2.5

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$t = π - \frac{π}{6}$

ステップ 7.2.6

$π - \frac{π}{6}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.6.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$t = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 7.2.6.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.6.2.1

$π$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$t = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 7.2.6.2.2

公分母の分子をまとめます。

$t = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

ステップ 7.2.6.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.6.3.1

$6$ を $π$ の左に移動させます。

$t = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

ステップ 7.2.6.3.2

$6 π$ から $π$ を引きます。

$t = \frac{5 π}{6}$

ステップ 7.2.7

方程式 $t = \frac{π}{6}$ に対する解です。

$t = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

ステップ 8

$\sin (t) + 1$ を $0$ に等しくし、 $t$ を解きます。

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ステップ 8.1

$\sin (t) + 1$ が $0$ に等しいとします。

$\sin (t) + 1 = 0$

ステップ 8.2

$t$ について $\sin (t) + 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\sin (t) = - 1$

ステップ 8.2.2

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $t$ を取り出します。

$t = \arcsin (- 1)$

ステップ 8.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.1

$\arcsin (- 1)$ の厳密値は $- \frac{π}{2}$ です。

$t = - \frac{π}{2}$

ステップ 8.2.4

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$t = 2 π + \frac{π}{2} + π$

ステップ 8.2.5

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 8.2.5.1

$2 π + \frac{π}{2} + π$ から $2 π$ を引きます。

$t = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

ステップ 8.2.5.2

$\frac{3 π}{2}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{2} + π$ と隣接します。

$t = \frac{3 π}{2}$

ステップ 8.2.6

方程式 $t = - \frac{π}{2}$ に対する解です。

$t = - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

ステップ 9

最終解は $2 (- 2 \sin (t) + 1) (\sin (t) + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$t = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

ステップ 10

$t = \frac{π}{6}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 2 \cos (\frac{π}{6}) - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

ステップ 11

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 11.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.1

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$- 2 \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

ステップ 11.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

ステップ 11.1.2.2

共通因数を約分します。

$2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

ステップ 11.1.2.3

式を書き換えます。

$- 1 \sqrt{3} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

ステップ 11.1.3

$- 1 \sqrt{3}$ を $- \sqrt{3}$ に書き換えます。

$- \sqrt{3} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

ステップ 11.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.4.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$- \sqrt{3} - 4 \sin (2 \frac{π}{2 (3)})$

ステップ 11.1.4.2

共通因数を約分します。

$- \sqrt{3} - 4 \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

ステップ 11.1.4.3

式を書き換えます。

$- \sqrt{3} - 4 \sin (\frac{π}{3})$

ステップ 11.1.5

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$- \sqrt{3} - 4 \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 11.1.6

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.6.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$- \sqrt{3} + 2 (- 2) \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 11.1.6.2

共通因数を約分します。

$- \sqrt{3} + 2 \cdot - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 11.1.6.3

式を書き換えます。

$- \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}$

ステップ 11.2

$- \sqrt{3}$ から $2 \sqrt{3}$ を引きます。

$- 3 \sqrt{3}$

ステップ 12

$t = \frac{π}{6}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$t = \frac{π}{6}$ は極大値です

ステップ 13

$t = \frac{π}{6}$ のときy値を求めます。

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ステップ 13.1

式の変数 $t$ を $\frac{π}{6}$ で置換えます。

$f (\frac{π}{6}) = 2 \cos (\frac{π}{6}) + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

ステップ 13.2

結果を簡約します。

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ステップ 13.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.1

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

ステップ 13.2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

ステップ 13.2.1.2.2

式を書き換えます。

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

ステップ 13.2.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.3.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{π}{2 (3)}))$

ステップ 13.2.1.3.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 3}))$

ステップ 13.2.1.3.3

式を書き換えます。

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \sin (\frac{π}{3})$

ステップ 13.2.1.4

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 13.2.2

$\sqrt{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 13.2.3

分数をまとめます。

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ステップ 13.2.3.1

$\sqrt{3}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 13.2.3.2

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3}}{2}$

ステップ 13.2.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.4.1

$2$ を $\sqrt{3}$ の左に移動させます。

$f (\frac{π}{6}) = \frac{2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3}}{2}$

ステップ 13.2.4.2

$2 \sqrt{3}$ と $\sqrt{3}$ をたし算します。

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

ステップ 13.2.5

最終的な答えは $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ です。

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

ステップ 14

$t = \frac{5 π}{6}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 2 \cos (\frac{5 π}{6}) - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

ステップ 15

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$- 2 (- \cos (\frac{π}{6})) - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

ステップ 15.1.2

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$- 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

ステップ 15.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.3.1

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- 2 \frac{- \sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

ステップ 15.1.3.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

ステップ 15.1.3.3

共通因数を約分します。

$2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

ステップ 15.1.3.4

式を書き換えます。

$- 1 (- \sqrt{3}) - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

ステップ 15.1.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \sqrt{3} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

ステップ 15.1.5

$\sqrt{3}$ に $1$ をかけます。

$\sqrt{3} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

ステップ 15.1.6

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.6.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\sqrt{3} - 4 \sin (2 \frac{5 π}{2 (3)})$

ステップ 15.1.6.2

共通因数を約分します。

$\sqrt{3} - 4 \sin (2 \frac{5 π}{2 \cdot 3})$

ステップ 15.1.6.3

式を書き換えます。

$\sqrt{3} - 4 \sin (\frac{5 π}{3})$

ステップ 15.1.7

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$\sqrt{3} - 4 (- \sin (\frac{π}{3}))$

ステップ 15.1.8

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$\sqrt{3} - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 15.1.9

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.9.1

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\sqrt{3} - 4 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

ステップ 15.1.9.2

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$\sqrt{3} + 2 (- 2) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

ステップ 15.1.9.3

共通因数を約分します。

$\sqrt{3} + 2 \cdot - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

ステップ 15.1.9.4

式を書き換えます。

$\sqrt{3} - 2 (- \sqrt{3})$

ステップ 15.1.10

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\sqrt{3} + 2 \sqrt{3}$

ステップ 15.2

$\sqrt{3}$ と $2 \sqrt{3}$ をたし算します。

$3 \sqrt{3}$

ステップ 16

$t = \frac{5 π}{6}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$t = \frac{5 π}{6}$ は極小値です

ステップ 17

$t = \frac{5 π}{6}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

式の変数 $t$ を $\frac{5 π}{6}$ で置換えます。

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{5 π}{6}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

ステップ 17.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (- \cos (\frac{π}{6})) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

ステップ 17.2.1.2

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

ステップ 17.2.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.1.3.1

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

ステップ 17.2.1.3.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

ステップ 17.2.1.3.3

式を書き換えます。

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

ステップ 17.2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.1.4.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{5 π}{2 (3)}))$

ステップ 17.2.1.4.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 3}))$

ステップ 17.2.1.4.3

式を書き換えます。

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} + \sin (\frac{5 π}{3})$

ステップ 17.2.1.5

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} - \sin (\frac{π}{3})$

ステップ 17.2.1.6

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 17.2.2

$- \sqrt{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 17.2.3

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.3.1

$- \sqrt{3}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- \sqrt{3} \cdot 2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 17.2.3.2

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3}}{2}$

ステップ 17.2.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- 2 \sqrt{3} - \sqrt{3}}{2}$

ステップ 17.2.4.2

$- 2 \sqrt{3}$ から $\sqrt{3}$ を引きます。

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- 3 \sqrt{3}}{2}$

ステップ 17.2.5

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{5 π}{6}) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

ステップ 17.2.6

最終的な答えは $- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ です。

$y = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

ステップ 18

$t = - \frac{π}{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 2 \cos (- \frac{π}{2}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

ステップ 19

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を加えます。

$- 2 \cos (\frac{3 π}{2}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

ステップ 19.1.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$- 2 \cos (\frac{π}{2}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

ステップ 19.1.3

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$- 2 \cdot 0 - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

ステップ 19.1.4

$- 2$ に $0$ をかけます。

$0 - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

ステップ 19.1.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1.5.1

$- \frac{π}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$0 - 4 \sin (2 \frac{- π}{2})$

ステップ 19.1.5.2

共通因数を約分します。

$0 - 4 \sin (2 \frac{- π}{2})$

ステップ 19.1.5.3

式を書き換えます。

$0 - 4 \sin (- π)$

ステップ 19.1.6

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$0 - 4 \sin (0)$

ステップ 19.1.7

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$0 - 4 \cdot 0$

ステップ 19.1.8

$- 4$ に $0$ をかけます。

$0 + 0$

ステップ 19.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

ステップ 20

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $t$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - \frac{π}{2}) \cup (- \frac{π}{2}, \frac{π}{6}) \cup (\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}) \cup (\frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

ステップ 20.2

一次導関数 $- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t)$ の区間 $(- \infty, - \frac{π}{2})$ から $- 4$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.1

式の変数 $t$ を $- 4$ で置換えます。

$f' (- 4) = - 2 \sin (- 4) + 2 \cos (2 (- 4))$

ステップ 20.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.2.2.1.1

$\sin (- 4)$ の値を求めます。

$f' (- 4) = - 2 \cdot 0.75680249 + 2 \cos (2 (- 4))$

ステップ 20.2.2.1.2

$- 2$ に $0.75680249$ をかけます。

$f' (- 4) = - 1.51360499 + 2 \cos (2 (- 4))$

ステップ 20.2.2.1.3

$2$ に $- 4$ をかけます。

$f' (- 4) = - 1.51360499 + 2 \cos (- 8)$

ステップ 20.2.2.1.4

$\cos (- 8)$ の値を求めます。

$f' (- 4) = - 1.51360499 + 2 \cdot - 0.14550003$

ステップ 20.2.2.1.5

$2$ に $- 0.14550003$ をかけます。

$f' (- 4) = - 1.51360499 - 0.29100006$

ステップ 20.2.2.2

$- 1.51360499$ から $0.29100006$ を引きます。

$f' (- 4) = - 1.80460505$

ステップ 20.2.2.3

最終的な答えは $- 1.80460505$ です。

$- 1.80460505$

ステップ 20.3

一次導関数 $- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t)$ の区間 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{6})$ から $0$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.3.1

式の変数 $t$ を $0$ で置換えます。

$f' (0) = - 2 \sin (0) + 2 \cos (2 (0))$

ステップ 20.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.3.2.1.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$f' (0) = - 2 \cdot 0 + 2 \cos (2 (0))$

ステップ 20.3.2.1.2

$- 2$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = 0 + 2 \cos (2 (0))$

ステップ 20.3.2.1.3

$2$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = 0 + 2 \cos (0)$

ステップ 20.3.2.1.4

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$f' (0) = 0 + 2 \cdot 1$

ステップ 20.3.2.1.5

$2$ に $1$ をかけます。

$f' (0) = 0 + 2$

ステップ 20.3.2.2

$0$ と $2$ をたし算します。

$f' (0) = 2$

ステップ 20.3.2.3

最終的な答えは $2$ です。

$2$

ステップ 20.4

一次導関数 $- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t)$ の区間 $(\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6})$ から $2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.4.1

式の変数 $t$ を $2$ で置換えます。

$f' (2) = - 2 \sin (2) + 2 \cos (2 (2))$

ステップ 20.4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.4.2.1.1

$\sin (2)$ の値を求めます。

$f' (2) = - 2 \cdot 0.90929742 + 2 \cos (2 (2))$

ステップ 20.4.2.1.2

$- 2$ に $0.90929742$ をかけます。

$f' (2) = - 1.81859485 + 2 \cos (2 (2))$

ステップ 20.4.2.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$f' (2) = - 1.81859485 + 2 \cos (4)$

ステップ 20.4.2.1.4

$\cos (4)$ の値を求めます。

$f' (2) = - 1.81859485 + 2 \cdot - 0.65364362$

ステップ 20.4.2.1.5

$2$ に $- 0.65364362$ をかけます。

$f' (2) = - 1.81859485 - 1.30728724$

ステップ 20.4.2.2

$- 1.81859485$ から $1.30728724$ を引きます。

$f' (2) = - 3.12588209$

ステップ 20.4.2.3

最終的な答えは $- 3.12588209$ です。

$- 3.12588209$

ステップ 20.5

一次導関数 $- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t)$ の区間 $(\frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2})$ から $4$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.5.1

式の変数 $t$ を $4$ で置換えます。

$f' (4) = - 2 \sin (4) + 2 \cos (2 (4))$

ステップ 20.5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.5.2.1.1

$\sin (4)$ の値を求めます。

$f' (4) = - 2 \cdot - 0.75680249 + 2 \cos (2 (4))$

ステップ 20.5.2.1.2

$- 2$ に $- 0.75680249$ をかけます。

$f' (4) = 1.51360499 + 2 \cos (2 (4))$

ステップ 20.5.2.1.3

$2$ に $4$ をかけます。

$f' (4) = 1.51360499 + 2 \cos (8)$

ステップ 20.5.2.1.4

$\cos (8)$ の値を求めます。

$f' (4) = 1.51360499 + 2 \cdot - 0.14550003$

ステップ 20.5.2.1.5

$2$ に $- 0.14550003$ をかけます。

$f' (4) = 1.51360499 - 0.29100006$

ステップ 20.5.2.2

$1.51360499$ から $0.29100006$ を引きます。

$f' (4) = 1.22260492$

ステップ 20.5.2.3

最終的な答えは $1.22260492$ です。

$1.22260492$

ステップ 20.6

一次導関数 $- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t)$ の区間 $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ から $7$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.6.1

式の変数 $t$ を $7$ で置換えます。

$f' (7) = - 2 \sin (7) + 2 \cos (2 (7))$

ステップ 20.6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.6.2.1.1

$\sin (7)$ の値を求めます。

$f' (7) = - 2 \cdot 0.65698659 + 2 \cos (2 (7))$

ステップ 20.6.2.1.2

$- 2$ に $0.65698659$ をかけます。

$f' (7) = - 1.31397319 + 2 \cos (2 (7))$

ステップ 20.6.2.1.3

$2$ に $7$ をかけます。

$f' (7) = - 1.31397319 + 2 \cos (14)$

ステップ 20.6.2.1.4

$\cos (14)$ の値を求めます。

$f' (7) = - 1.31397319 + 2 \cdot 0.13673721$

ステップ 20.6.2.1.5

$2$ に $0.13673721$ をかけます。

$f' (7) = - 1.31397319 + 0.27347443$

ステップ 20.6.2.2

$- 1.31397319$ と $0.27347443$ をたし算します。

$f' (7) = - 1.04049876$

ステップ 20.6.2.3

最終的な答えは $- 1.04049876$ です。

$- 1.04049876$

ステップ 20.7

$t = - \frac{π}{2}$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $t = - \frac{π}{2}$ は極小値です。

$t = - \frac{π}{2}$ は極小値です

ステップ 20.8

$t = \frac{π}{6}$ の周囲で一次導関数の符号が正から負に変化したので、 $t = \frac{π}{6}$ は極大値です。

$t = \frac{π}{6}$ は極大値です

ステップ 20.9

$t = \frac{5 π}{6}$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $t = \frac{5 π}{6}$ は極小値です。

$t = \frac{5 π}{6}$ は極小値です

ステップ 20.10

$t = \frac{3 π}{2}$ の周囲で一次導関数の符号が正から負に変化したので、 $t = \frac{3 π}{2}$ は極大値です。

$t = \frac{3 π}{2}$ は極大値です

ステップ 20.11

$f (t) = 2 \cos (t) + \sin (2 t)$ の極値です。

$t = - \frac{π}{2}$ は極小値です

$t = \frac{π}{6}$ は極大値です

$t = \frac{5 π}{6}$ は極小値です

$t = \frac{3 π}{2}$ は極大値です

$t = - \frac{π}{2}$ は極小値です

$t = \frac{π}{6}$ は極大値です

$t = \frac{5 π}{6}$ は極小値です

$t = \frac{3 π}{2}$ は極大値です

ステップ 21

微分積分 例

微分積分例