微分積分例

$x^{\frac{1}{3}} (x + 4)$

ステップ 1

$x^{\frac{1}{3}} (x + 4)$ を関数で書きます。

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x + 4)$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ および $g (x) = x + 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 4] + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{\frac{1}{3}} (1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 2.2.3

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$x^{\frac{1}{3}} (1 + 0) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 2.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 2.2.4.2

$x^{\frac{1}{3}}$ に $1$ をかけます。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 2.2.5

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

ステップ 2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

ステップ 2.4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 2.5

公分母の分子をまとめます。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

ステップ 2.6.2

$1$ から $3$ を引きます。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

ステップ 2.7

分数の前に負数を移動させます。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

ステップ 2.8

$\frac{1}{3}$ と $x^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

ステップ 2.9

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.1

分配則を当てはめます。

$x^{\frac{1}{3}} + x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.10.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.2.1

$x$ と $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ をまとめます。

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.10.2.2

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $x^{\frac{2}{3}}$ を分子に移動させます。

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.10.2.3

指数を足して $x$ に $x^{- \frac{2}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.2.3.1

$x$ に $x^{- \frac{2}{3}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.2.3.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.10.2.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1 - \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.10.2.3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.10.2.3.3

公分母の分子をまとめます。

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3 - 2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.10.2.3.4

$3$ から $2$ を引きます。

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.10.2.4

$4$ と $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ をまとめます。

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.10.2.5

$x^{\frac{1}{3}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.10.2.6

$x^{\frac{1}{3}}$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.10.2.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3 + x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.10.2.8

$3$ を $x^{\frac{1}{3}}$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.10.2.9

$3 x^{\frac{1}{3}}$ と $x^{\frac{1}{3}}$ をたし算します。

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$\frac{4}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ の微分係数は $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ です。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 3.2.2

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 3.2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 3.2.4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 3.2.5

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 3.2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 3.2.6.2

$1$ から $3$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 3.2.7

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 3.2.8

$\frac{1}{3}$ と $x^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 3.2.9

$\frac{4}{3}$ に $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 3.2.10

$3$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{9} + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 3.2.11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$\frac{4}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ の微分係数は $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ です。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 3.3.2

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ を ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1})$

ステップ 3.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{\frac{2}{3}}$ とします。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))$

ステップ 3.3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 3.3.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{\frac{2}{3}}$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 3.3.4

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

ステップ 3.3.5

${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

ステップ 3.3.5.2

$\frac{2}{3} \cdot - 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.2.1

$\frac{2}{3}$ と $- 2$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

ステップ 3.3.5.2.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

ステップ 3.3.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

ステップ 3.3.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

ステップ 3.3.7

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

ステップ 3.3.8

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

ステップ 3.3.9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.9.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

ステップ 3.3.9.2

$2$ から $3$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

ステップ 3.3.10

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

ステップ 3.3.11

$\frac{2}{3}$ と $x^{- \frac{1}{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

ステップ 3.3.12

$\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ と $x^{- \frac{4}{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

ステップ 3.3.13

指数を足して $x^{- \frac{1}{3}}$ に $x^{- \frac{4}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.13.1

$x^{- \frac{4}{3}}$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3})$

ステップ 3.3.13.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3})$

ステップ 3.3.13.3

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3})$

ステップ 3.3.13.4

$- 4$ から $1$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3})$

ステップ 3.3.13.5

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3})$

ステップ 3.3.14

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{5}{3}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

ステップ 3.3.15

$\frac{4}{3}$ に $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4 \cdot 2}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

ステップ 3.3.16

$4$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

ステップ 3.3.17

$3$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

ステップ 5

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 4] + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 5.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

総和則では、 $x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 5.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{\frac{1}{3}} (1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 5.1.2.3

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$x^{\frac{1}{3}} (1 + 0) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 5.1.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 5.1.2.4.2

$x^{\frac{1}{3}}$ に $1$ をかけます。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 5.1.2.5

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

ステップ 5.1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

ステップ 5.1.4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 5.1.5

公分母の分子をまとめます。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 5.1.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

ステップ 5.1.6.2

$1$ から $3$ を引きます。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

ステップ 5.1.7

分数の前に負数を移動させます。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

ステップ 5.1.8

$\frac{1}{3}$ と $x^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

ステップ 5.1.9

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 5.1.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.10.1

分配則を当てはめます。

$x^{\frac{1}{3}} + x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 5.1.10.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.10.2.1

$x$ と $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ をまとめます。

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 5.1.10.2.2

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $x^{\frac{2}{3}}$ を分子に移動させます。

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 5.1.10.2.3

指数を足して $x$ に $x^{- \frac{2}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.10.2.3.1

$x$ に $x^{- \frac{2}{3}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.10.2.3.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 5.1.10.2.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1 - \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 5.1.10.2.3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 5.1.10.2.3.3

公分母の分子をまとめます。

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3 - 2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 5.1.10.2.3.4

$3$ から $2$ を引きます。

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 5.1.10.2.4

$4$ と $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ をまとめます。

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 5.1.10.2.5

$x^{\frac{1}{3}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 5.1.10.2.6

$x^{\frac{1}{3}}$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 5.1.10.2.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3 + x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 5.1.10.2.8

$3$ を $x^{\frac{1}{3}}$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 5.1.10.2.9

$3 x^{\frac{1}{3}}$ と $x^{\frac{1}{3}}$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 5.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ です。

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

ステップ 6.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$3, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1$

ステップ 6.2.2

$3, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1$ には数と変数があるので、最小公倍数を求めるには2段階あります。数値部 $3, 3, 1$ の最小公倍数を求め、次に変数部 $x^{\frac{2}{3}}$ の最小公倍数を求めます。

ステップ 6.2.3

最小公倍数はすべての数を割り切る最小の正の数です。

1. 各数値の素因数を記入してください。

2. 各因数に、いずれかの値で発生する最大回数をかけてください。

ステップ 6.2.4

$3$ には、 $1$ と $3$ 以外に因数がないため。

$3$ は素数です

ステップ 6.2.5

数 $1$ は、それ自身である正の因数を1つだけもつので、素数ではありません。

素数ではありません

ステップ 6.2.6

$3, 3, 1$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの数に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$3$

ステップ 6.2.7

$x^{\frac{2}{3}}$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの項に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$x^{\frac{2}{3}}$

ステップ 6.2.8

$3, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1$ の最小公倍数は数値部分 $3$ に変数部分を掛けたものです。

$3 x^{\frac{2}{3}}$

ステップ 6.3

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ の各項に $3 x^{\frac{2}{3}}$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ の各項に $3 x^{\frac{2}{3}}$ を掛けます。

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} (3 x^{\frac{2}{3}}) + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 6.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$3 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 6.3.2.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$3 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 6.3.2.1.2.2

式を書き換えます。

$4 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 6.3.2.1.3

指数を足して $x^{\frac{1}{3}}$ に $x^{\frac{2}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.3.1

$x^{\frac{2}{3}}$ を移動させます。

$4 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 6.3.2.1.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 6.3.2.1.3.3

公分母の分子をまとめます。

$4 x^{\frac{2 + 1}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 6.3.2.1.3.4

$2$ と $1$ をたし算します。

$4 x^{\frac{3}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 6.3.2.1.3.5

$3$ を $3$ で割ります。

$4 x^{1} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 6.3.2.1.4

$4 x^{1}$ を簡約します。

$4 x + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 6.3.2.1.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$4 x + 3 \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 6.3.2.1.6

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.6.1

共通因数を約分します。

$4 x + 3 \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 6.3.2.1.6.2

式を書き換えます。

$4 x + \frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 6.3.2.1.7

$x^{\frac{2}{3}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.7.1

共通因数を約分します。

$4 x + \frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 6.3.2.1.7.2

式を書き換えます。

$4 x + 4 = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 6.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1

$0 (3 x^{\frac{2}{3}})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1.1

$3$ に $0$ をかけます。

$4 x + 4 = 0 x^{\frac{2}{3}}$

ステップ 6.3.3.1.2

$0$ に $x^{\frac{2}{3}}$ をかけます。

$4 x + 4 = 0$

ステップ 6.4

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$4 x = - 4$

ステップ 6.4.2

$4 x = - 4$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1

$4 x = - 4$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 4}{4}$

ステップ 6.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 4}{4}$

ステップ 6.4.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 4}{4}$

ステップ 6.4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.3.1

$- 4$ を $4$ で割ります。

$x = - 1$

ステップ 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{4 \sqrt[3]{x^{1}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 7.1.2

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{4 \sqrt[3]{x^{1}}}{3} + \frac{4}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

ステップ 7.1.3

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$\frac{4 \sqrt[3]{x}}{3} + \frac{4}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

ステップ 7.2

$\frac{4}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$3 \sqrt[3]{x^{2}} = 0$

ステップ 7.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${(3 \sqrt[3]{x^{2}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 7.3.2

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x^{2}}$ を $x^{\frac{2}{3}}$ に書き換えます。

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 7.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.2.1

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.2.1.1

積の法則を $3 x^{\frac{2}{3}}$ に当てはめます。

$3^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 7.3.2.2.1.2

$3$ を $3$ 乗します。

$27 {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 7.3.2.2.1.3

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 7.3.2.2.1.3.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 7.3.2.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$27 x^{2} = 0^{3}$

ステップ 7.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$27 x^{2} = 0$

ステップ 7.3.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.1

$27 x^{2} = 0$ の各項を $27$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.1.1

$27 x^{2} = 0$ の各項を $27$ で割ります。

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

ステップ 7.3.3.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.1.2.1

$27$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

ステップ 7.3.3.1.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{0}{27}$

ステップ 7.3.3.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.1.3.1

$0$ を $27$ で割ります。

$x^{2} = 0$

ステップ 7.3.3.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 7.3.3.3

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.3.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 7.3.3.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 7.3.3.3.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 8

値を求める臨界点です。

$x = - 1, 0$

ステップ 9

$x = - 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{4}{9 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 10

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1.1

$- 1$ を ${(- 1)}^{3}$ に書き換えます。

$\frac{4}{9 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 10.1.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{4}{9 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}} - \frac{8}{9 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 10.1.1.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{4}{9 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}} - \frac{8}{9 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 10.1.1.3.2

式を書き換えます。

$\frac{4}{9 {(- 1)}^{2}} - \frac{8}{9 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 10.1.1.4

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\frac{4}{9 \cdot 1} - \frac{8}{9 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 10.1.2

$9$ に $1$ をかけます。

$\frac{4}{9} - \frac{8}{9 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 10.1.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.3.1

$- 1$ を ${(- 1)}^{3}$ に書き換えます。

$\frac{4}{9} - \frac{8}{9 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 10.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{4}{9} - \frac{8}{9 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}$

ステップ 10.1.3.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.3.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{4}{9} - \frac{8}{9 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}$

ステップ 10.1.3.3.2

式を書き換えます。

$\frac{4}{9} - \frac{8}{9 {(- 1)}^{5}}$

ステップ 10.1.3.4

$- 1$ を $5$ 乗します。

$\frac{4}{9} - \frac{8}{9 \cdot - 1}$

ステップ 10.1.4

$9$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{4}{9} - \frac{8}{- 9}$

ステップ 10.1.5

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{4}{9} - - \frac{8}{9}$

ステップ 10.1.6

$- - \frac{8}{9}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{4}{9} + 1 (\frac{8}{9})$

ステップ 10.1.6.2

$\frac{8}{9}$ に $1$ をかけます。

$\frac{4}{9} + \frac{8}{9}$

ステップ 10.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 + 8}{9}$

ステップ 10.2.2

$4$ と $8$ をたし算します。

$\frac{12}{9}$

ステップ 10.2.3

$12$ と $9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.3.1

$3$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{3 (4)}{9}$

ステップ 10.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.3.2.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3}$

ステップ 10.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3}$

ステップ 10.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{4}{3}$

ステップ 11

$x = - 1$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 1$ は極小値です

ステップ 12

$x = - 1$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = {(- 1)}^{\frac{1}{3}} ((- 1) + 4)$

ステップ 12.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.1

$- 1$ を ${(- 1)}^{3}$ に書き換えます。

$f (- 1) = {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}} ((- 1) + 4)$

ステップ 12.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- 1) = {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} ((- 1) + 4)$

ステップ 12.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.2.1

共通因数を約分します。

$f (- 1) = {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} ((- 1) + 4)$

ステップ 12.2.2.2

式を書き換えます。

$f (- 1) = (- 1) ((- 1) + 4)$

ステップ 12.2.3

指数を求めます。

$f (- 1) = - 1 ((- 1) + 4)$

ステップ 12.2.4

$- 1$ と $4$ をたし算します。

$f (- 1) = - 1 \cdot 3$

ステップ 12.2.5

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f (- 1) = - 3$

ステップ 12.2.6

最終的な答えは $- 3$ です。

$y = - 3$

ステップ 13

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{4}{9 {(0)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 14

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 14.1

式を簡約します。

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ステップ 14.1.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$\frac{4}{9 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 14.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{4}{9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 14.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 14.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{4}{9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 14.2.2

式を書き換えます。

$\frac{4}{9 \cdot 0^{2}} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 14.3

式を簡約します。

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ステップ 14.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{4}{9 \cdot 0} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 14.3.2

$9$ に $0$ をかけます。

$\frac{4}{0} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 14.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{4}{0} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 14.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 15

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

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ステップ 15.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 15.2

一次導関数 $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ の区間 $(- \infty, - 1)$ から $- 4$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 15.2.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f' (- 4) = \frac{4 {(- 4)}^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 15.2.2

最終的な答えは $\frac{4 {(- 4)}^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$ です。

$\frac{4 {(- 4)}^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 15.3

一次導関数 $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ の区間 $(- 1, 0)$ から $- 0.5$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 15.3.1

式の変数 $x$ を $- 0.5$ で置換えます。

$f' (- 0.5) = \frac{4 {(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(- 0.5)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 15.3.2

最終的な答えは $\frac{4 {(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(- 0.5)}^{\frac{2}{3}}}$ です。

$\frac{4 {(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(- 0.5)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 15.4

一次導関数 $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ の区間 $(0, \infty)$ から $2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 15.4.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f' (2) = \frac{4 {(2)}^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 15.4.2

結果を簡約します。

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ステップ 15.4.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 15.4.2.1.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f' (2) = \frac{2^{2} \cdot 2^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 15.4.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (2) = \frac{2^{2 + \frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 15.4.2.1.3

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f' (2) = \frac{2^{2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 15.4.2.1.4

$2$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f' (2) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 15.4.2.1.5

公分母の分子をまとめます。

$f' (2) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 3 + 1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 15.4.2.1.6

分子を簡約します。

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ステップ 15.4.2.1.6.1

$2$ に $3$ をかけます。

$f' (2) = \frac{2^{\frac{6 + 1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 15.4.2.1.6.2

$6$ と $1$ をたし算します。

$f' (2) = \frac{2^{\frac{7}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

$f' (2) = \frac{2^{\frac{7}{3}}}{3} + \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 15.4.2.2

最終的な答えは $\frac{2^{\frac{7}{3}}}{3} + \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$ です。

$\frac{2^{\frac{7}{3}}}{3} + \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 15.5

$x = - 1$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = - 1$ は極小値です。

$x = - 1$ は極小値です

ステップ 15.6

$x = 0$ の周囲で一次導関数の符号が変化しなかったので、これは極大値または極小値ではありません。

極大値または極小値ではありません

ステップ 15.7

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x + 4)$ の極値です。

$x = - 1$ は極小値です

ステップ 16

微分積分 例

微分積分例