微分積分例

$\sqrt{9 - x^{2}}$

ステップ 1

$\sqrt{9 - x^{2}}$ を関数で書きます。

$f (x) = \sqrt{9 - x^{2}}$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{9 - x^{2}}$ を ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 9 - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $9 - x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

ステップ 2.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $9 - x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

ステップ 2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

ステップ 2.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

ステップ 2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

ステップ 2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

ステップ 2.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

ステップ 2.7

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

ステップ 2.7.2

$\frac{1}{2}$ と ${(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

ステップ 2.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

ステップ 2.8

総和則では、 $9 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 2.9

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 2.10

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ をたし算します。

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.11

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.12

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

ステップ 2.13

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.13.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

ステップ 2.13.2

$- 2$ と $\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

ステップ 2.13.3

$\frac{- 2}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{- 2 x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.13.4

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x)}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.14

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.14.1

$2$ を $2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x)}{2 ({(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 2.14.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- x)}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.14.3

式を書き換えます。

$\frac{- x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.15

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{({(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.3

${({(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

共通因数を約分します。

ステップ 3.3.2.2

式を書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.4

簡約します。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.5

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.5.2

${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.6

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 9 - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $9 - x^{2}$ とします。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.6.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.6.3

$u$ のすべての発生を $9 - x^{2}$ で置き換えます。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.9

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.11

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.1

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.11.2

$\frac{1}{2}$ と ${(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.11.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.11.4

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (9 - x^{2})}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.12

総和則では、 $9 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (9) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.13

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.14

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2})}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.15

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2})}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.16

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.16.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1 (\frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.16.2

$\frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.17

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.18

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.18.1

$2$ と $\frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.18.2

$\frac{2 x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x \cdot x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.19

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (x \cdot x)}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.20

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (x \cdot x)}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.21

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{1 + 1}}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.22

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{2}}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.23

共通因数を約分します。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{2}}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.24

式を書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.25

${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.26

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.27

指数を足して ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.27.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.27.2

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} + x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.27.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{\frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{2}{2}} + x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.27.4

$2$ を $2$ で割ります。

$f'' (x) = - \frac{\frac{(9 - x^{2}) + x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.28

${(9 - x^{2})}^{1}$ を簡約します。

$f'' (x) = - \frac{\frac{9 - x^{2} + x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.29

$- x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{\frac{9 + 0}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.30

$9$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{\frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.31

$\frac{\frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}}$ を積として書き換えます。

$f'' (x) = - (\frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{9 - x^{2}}) + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.32

$\frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{9 - x^{2}}$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (9 - x^{2})} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.33

指数を足して ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に $9 - x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.33.1

${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に $9 - x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.33.1.1

$9 - x^{2}$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - \frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (9 - x^{2})} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.33.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - \frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.33.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f'' (x) = - \frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.33.3

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.33.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 3.34

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - \frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

ステップ 3.35

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.35.1

$\frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ に $0$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + 0$

ステップ 3.35.2

$- \frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 5

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{9 - x^{2}}$ を ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 5.1.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 9 - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $9 - x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

ステップ 5.1.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

ステップ 5.1.2.3

$u$ のすべての発生を $9 - x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

ステップ 5.1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

ステップ 5.1.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

ステップ 5.1.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

ステップ 5.1.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

ステップ 5.1.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

ステップ 5.1.7

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

ステップ 5.1.7.2

$\frac{1}{2}$ と ${(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

ステップ 5.1.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

ステップ 5.1.8

総和則では、 $9 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 5.1.9

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 5.1.10

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ をたし算します。

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 5.1.11

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 5.1.12

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

ステップ 5.1.13

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.13.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

ステップ 5.1.13.2

$- 2$ と $\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

ステップ 5.1.13.3

$\frac{- 2}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{- 2 x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.1.13.4

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x)}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.1.14

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.14.1

$2$ を $2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x)}{2 ({(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 5.1.14.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- x)}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.1.14.3

式を書き換えます。

$\frac{- x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.1.15

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ です。

$- \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 6.2

分子を0に等しくします。

$x = 0$

ステップ 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$- \frac{x}{\sqrt{{(9 - x^{2})}^{1}}}$

ステップ 7.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$- \frac{x}{\sqrt{9 - x^{2}}}$

ステップ 7.2

$\frac{x}{\sqrt{9 - x^{2}}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt{9 - x^{2}} = 0$

ステップ 7.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{9 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

ステップ 7.3.2

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{9 - x^{2}}$ を ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 7.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.2.1

${({(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.2.1.1

${({(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 7.3.2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 7.3.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(9 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

ステップ 7.3.2.2.1.2

簡約します。

$9 - x^{2} = 0^{2}$

ステップ 7.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$9 - x^{2} = 0$

ステップ 7.3.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.1

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$- x^{2} = - 9$

ステップ 7.3.3.2

$- x^{2} = - 9$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.2.1

$- x^{2} = - 9$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

ステップ 7.3.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

ステップ 7.3.3.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 9}{- 1}$

ステップ 7.3.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.2.3.1

$- 9$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} = 9$

ステップ 7.3.3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{9}$

ステップ 7.3.3.4

$\pm \sqrt{9}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.4.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

ステップ 7.3.3.4.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 3$

ステップ 7.3.3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 3$

ステップ 7.3.3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 3$

ステップ 7.3.3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 3, - 3$

ステップ 7.4

$\sqrt{9 - x^{2}}$ の被開数を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$9 - x^{2} < 0$

ステップ 7.5

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1

不等式の両辺から $9$ を引きます。

$- x^{2} < - 9$

ステップ 7.5.2

$- x^{2} < - 9$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.2.1

$- x^{2} < - 9$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 9}{- 1}$

ステップ 7.5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 9}{- 1}$

ステップ 7.5.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} > \frac{- 9}{- 1}$

ステップ 7.5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.2.3.1

$- 9$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} > 9$

ステップ 7.5.3

不等式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{9}$

ステップ 7.5.4

方程式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.4.1.1

累乗根の下から項を取り出します。

$| x | > \sqrt{9}$

ステップ 7.5.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.4.2.1

$\sqrt{9}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.4.2.1.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$| x | > \sqrt{3^{2}}$

ステップ 7.5.4.2.1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$| x | > | 3 |$

ステップ 7.5.4.2.1.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $3$ の間の距離は $3$ です。

$| x | > 3$

ステップ 7.5.5

$| x | > 3$ を区分で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.5.1

1番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負でない場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 7.5.5.2

$x$ が負でない区分では、絶対値を削除します。

$x > 3$

ステップ 7.5.5.3

2番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負になる場所を求めます。

$x < 0$

ステップ 7.5.5.4

$x$ が負である区分では、絶対値を取り除き $- 1$ を掛けます。

$- x > 3$

ステップ 7.5.5.5

区分で書きます。

${\begin{cases} x > 3 & x \geq 0 \\ - x > 3 & x < 0 \end{cases}$

ステップ 7.5.6

$x > 3$ と $x \geq 0$ の交点を求めます。

$x > 3$

ステップ 7.5.7

$- x > 3$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.7.1

$- x > 3$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x}{- 1} < \frac{3}{- 1}$

ステップ 7.5.7.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.7.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} < \frac{3}{- 1}$

ステップ 7.5.7.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x < \frac{3}{- 1}$

ステップ 7.5.7.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.7.3.1

$3$ を $- 1$ で割ります。

$x < - 3$

ステップ 7.5.8

解の和集合を求めます。

$x < - 3$ または $x > 3$

ステップ 7.6

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x \leq - 3, x \geq 3$

$(- \infty, - 3] \cup [3, \infty)$

$x \leq - 3, x \geq 3$

$(- \infty, - 3] \cup [3, \infty)$

ステップ 8

値を求める臨界点です。

$x = 0, - 3, 3$

ステップ 9

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{9}{{(9 - {(0)}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 10

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- \frac{9}{{(9 - 0)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 10.1.1.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$- \frac{9}{{(9 + 0)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 10.1.2

$9$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{9}{9^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 10.1.3

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{9}{{(3^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 10.1.4

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{9}{3^{2 (\frac{3}{2})}}$

ステップ 10.1.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.5.1

共通因数を約分します。

$- \frac{9}{3^{2 (\frac{3}{2})}}$

ステップ 10.1.5.2

式を書き換えます。

$- \frac{9}{3^{3}}$

ステップ 10.1.6

$3$ を $3$ 乗します。

$- \frac{9}{27}$

ステップ 10.2

$9$ と $27$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

$9$ を $9$ で因数分解します。

$- \frac{9 (1)}{27}$

ステップ 10.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

$9$ を $27$ で因数分解します。

$- \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 3}$

ステップ 10.2.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 3}$

ステップ 10.2.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{1}{3}$

ステップ 11

$x = 0$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極大値です

ステップ 12

$x = 0$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \sqrt{9 - {(0)}^{2}}$

ステップ 12.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = \sqrt{9 - 0}$

ステップ 12.2.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f (0) = \sqrt{9 + 0}$

ステップ 12.2.3

$9$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = \sqrt{9}$

ステップ 12.2.4

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$f (0) = \sqrt{3^{2}}$

ステップ 12.2.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (0) = 3$

ステップ 12.2.6

最終的な答えは $3$ です。

$y = 3$

ステップ 13

$x = - 3$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{9}{{(9 - {(- 3)}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 14

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 14.1

各項を簡約します。

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ステップ 14.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$- \frac{9}{{(9 - 1 \cdot 9)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 14.1.2

$- 1$ に $9$ をかけます。

$- \frac{9}{{(9 - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 14.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 14.2.1

$9$ から $9$ を引きます。

$- \frac{9}{0^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 14.2.2

式を簡約します。

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ステップ 14.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{9}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 14.2.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{9}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

ステップ 14.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 14.2.3.1

共通因数を約分します。

$- \frac{9}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

ステップ 14.2.3.2

式を書き換えます。

$- \frac{9}{0^{3}}$

ステップ 14.2.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- \frac{9}{0}$

ステップ 14.2.5

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$- \frac{9}{0}$

ステップ 14.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 15

一次導関数検定ができなかったので、極値はありません。

極値がありません

ステップ 16

微分積分 例

微分積分例