微分積分例

$\sqrt{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 1

$\sqrt{x^{2} + 4 x + 8}$ を関数で書きます。

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} + 4 x + 8}$ を ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x^{2} + 4 x + 8$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 4 x + 8$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

ステップ 2.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 4 x + 8$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

ステップ 2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

ステップ 2.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

ステップ 2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

ステップ 2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

ステップ 2.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

ステップ 2.7

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

ステップ 2.7.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

ステップ 2.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

ステップ 2.8

総和則では、 $x^{2} + 4 x + 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [8]$ です。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [8])$

ステップ 2.9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [8])$

ステップ 2.10

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])$

ステップ 2.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])$

ステップ 2.12

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4 + \frac{d}{d x} [8])$

ステップ 2.13

$8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $8$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4 + 0)$

ステップ 2.14

$2 x + 4$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4)$

ステップ 2.15

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.15.1

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4)$ の因数を並べ替えます。

$(2 x + 4) \frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.15.2

$2 x + 4$ に $\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{2 x + 4}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.15.3

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (x) + 4}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.15.4

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 (x) + 2 \cdot 2}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.15.5

$2$ を $2 (x) + 2 (2)$ で因数分解します。

$\frac{2 (x + 2)}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.15.6

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.15.6.1

$2$ を $2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (x + 2)}{2 ({(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 2.15.6.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (x + 2)}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.15.6.3

式を書き換えます。

$\frac{x + 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (x) = x + 2$ および $g (x) = {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.2

${({(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.2.2.2

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.3

簡約します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

総和則では、 $x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} (2)) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.4.3

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.4.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.4.4.2

${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.5

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x^{2} + 4 x + 8$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{2} + 4 x + 8$ とします。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.5.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.5.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2} + 4 x + 8$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.7

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.8

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.9.2

$1$ から $2$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.10

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.10.1

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.10.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.10.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.11

総和則では、 $x^{2} + 4 x + 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [8]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (8)))}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.12

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (8)))}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.13

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (8)))}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.14

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (8)))}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.15

$4$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 4 + \frac{d}{d x} (8)))}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.16

$8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $8$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 4 + 0))}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.17

$2 x + 4$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 4))}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.18

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.18.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 4))}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.18.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.18.2.1

$u_{2} = {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ とします。 $u_{2}$ を ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.18.2.1.1

$u_{2}$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{\frac{u_{2} u_{2} - {(x + 2)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.18.2.1.2

$u_{2}$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{\frac{u_{2} u_{2} - {(x + 2)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.18.2.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{\frac{{u_{2}}^{1 + 1} - {(x + 2)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.18.2.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{\frac{{u_{2}}^{2} - {(x + 2)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.18.2.1.5

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = u_{2}$ であり、 $b = x + 2$ です。

$f'' (x) = \frac{\frac{(u_{2} + x + 2) (u_{2} - (x + 2))}{u_{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.18.2.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.18.2.1.6.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{\frac{(u_{2} + x + 2) (u_{2} - x - 1 \cdot 2)}{u_{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.18.2.1.6.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{\frac{(u_{2} + x + 2) (u_{2} - x - 2)}{u_{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.18.2.2

$u_{2}$ のすべての発生を ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{\frac{({(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x + 2) ({(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - x - 2)}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.18.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.18.2.3.1

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $({(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x + 2) ({(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - x - 2)$ を展開します。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (- x) + {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 2 + x {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.18.2.3.2

${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (- x) + {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 2 + x {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x) + 2 \cdot - 2$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.18.2.3.2.1

${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (- x)$ と $x {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ について因数を並べ替えます。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - x {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 2 + x {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.18.2.3.2.2

$- x {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ と $x {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 2 + 0 + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.18.2.3.2.3

${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 2$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 2 + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.18.2.3.2.4

${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 2$ と $2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ について因数を並べ替えます。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - 2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.18.2.3.2.5

$- 2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ と $2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 0 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.18.2.3.2.6

${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.18.2.3.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.18.2.3.3.1

指数を足して ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.18.2.3.3.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.18.2.3.3.1.2

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1 + 1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.18.2.3.3.1.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{2}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.18.2.3.3.1.4

$2$ を $2$ で割ります。

$f'' (x) = \frac{\frac{(x^{2} + 4 x + 8) + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.18.2.3.3.2

${(x^{2} + 4 x + 8)}^{1}$ を簡約します。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 4 x + 8 + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.18.2.3.3.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 4 x + 8 - x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.18.2.3.3.4

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.18.2.3.3.4.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 4 x + 8 - (x \cdot x) + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.18.2.3.3.4.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 4 x + 8 - x^{2} + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.18.2.3.3.5

$- 2$ を $x$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 4 x + 8 - x^{2} - 2 \cdot x + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.18.2.3.3.6

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 4 x + 8 - x^{2} - 2 x - 2 x + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.18.2.3.3.7

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 4 x + 8 - x^{2} - 2 x - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.18.2.3.4

$x^{2} + 4 x + 8 - x^{2} - 2 x - 2 x - 4$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.18.2.3.4.1

$x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x + 8 + 0 - 2 x - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.18.2.3.4.2

$4 x + 8$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x + 8 - 2 x - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.18.2.3.5

$4 x$ から $2 x$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x + 8 - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.18.2.3.6

$2 x + 8 - 2 x - 4$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.18.2.3.6.1

$2 x$ から $2 x$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{\frac{0 + 8 - 4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.18.2.3.6.2

$0$ と $8$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{\frac{8 - 4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.18.2.3.7

$8$ から $4$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{\frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.18.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.18.3.1

$\frac{\frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$ を積として書き換えます。

$f'' (x) = \frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 4 x + 8}$

ステップ 3.18.3.2

$\frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{x^{2} + 4 x + 8}$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 4 x + 8)}$

ステップ 3.18.3.3

指数を足して ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ に $x^{2} + 4 x + 8$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.18.3.3.1

${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ に $x^{2} + 4 x + 8$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.18.3.3.1.1

$x^{2} + 4 x + 8$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 4 x + 8)}$

ステップ 3.18.3.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

ステップ 3.18.3.3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f'' (x) = \frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

ステップ 3.18.3.3.3

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

ステップ 3.18.3.3.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{x + 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 5

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} + 4 x + 8}$ を ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 5.1.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x^{2} + 4 x + 8$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 4 x + 8$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

ステップ 5.1.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

ステップ 5.1.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 4 x + 8$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

ステップ 5.1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

ステップ 5.1.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

ステップ 5.1.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

ステップ 5.1.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

ステップ 5.1.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

ステップ 5.1.7

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

ステップ 5.1.7.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

ステップ 5.1.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

ステップ 5.1.8

総和則では、 $x^{2} + 4 x + 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [8]$ です。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [8])$

ステップ 5.1.9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [8])$

ステップ 5.1.10

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])$

ステップ 5.1.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])$

ステップ 5.1.12

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4 + \frac{d}{d x} [8])$

ステップ 5.1.13

$8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $8$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4 + 0)$

ステップ 5.1.14

$2 x + 4$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4)$

ステップ 5.1.15

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.15.1

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4)$ の因数を並べ替えます。

$(2 x + 4) \frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.1.15.2

$2 x + 4$ に $\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{2 x + 4}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.1.15.3

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (x) + 4}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.1.15.4

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 (x) + 2 \cdot 2}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.1.15.5

$2$ を $2 (x) + 2 (2)$ で因数分解します。

$\frac{2 (x + 2)}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.1.15.6

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.15.6.1

$2$ を $2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (x + 2)}{2 ({(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 5.1.15.6.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (x + 2)}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.1.15.6.3

式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{x + 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{x + 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ です。

$\frac{x + 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{x + 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{x + 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 6.2

分子を0に等しくします。

$x + 2 = 0$

ステップ 6.3

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 8

値を求める臨界点です。

$x = - 2$

ステップ 9

$x = - 2$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{4}{{({(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 10

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$\frac{4}{{(4 + 4 (- 2) + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 10.1.1.2

$4$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{4}{{(4 - 8 + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 10.1.2

$4$ から $8$ を引きます。

$\frac{4}{{(- 4 + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 10.1.3

$- 4$ と $8$ をたし算します。

$\frac{4}{4^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 10.1.4

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{4}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 10.1.5

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{4}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

ステップ 10.1.6

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{4}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

ステップ 10.1.6.2

式を書き換えます。

$\frac{4}{2^{3}}$

ステップ 10.1.7

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{4}{8}$

ステップ 10.2

$4$ と $8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{4 (1)}{8}$

ステップ 10.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

ステップ 10.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

ステップ 10.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2}$

ステップ 11

$x = - 2$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 2$ は極小値です

ステップ 12

$x = - 2$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f (- 2) = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 8}$

ステップ 12.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f (- 2) = \sqrt{4 + 4 (- 2) + 8}$

ステップ 12.2.2

$4$ に $- 2$ をかけます。

$f (- 2) = \sqrt{4 - 8 + 8}$

ステップ 12.2.3

$4$ から $8$ を引きます。

$f (- 2) = \sqrt{- 4 + 8}$

ステップ 12.2.4

$- 4$ と $8$ をたし算します。

$f (- 2) = \sqrt{4}$

ステップ 12.2.5

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f (- 2) = \sqrt{2^{2}}$

ステップ 12.2.6

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (- 2) = 2$

ステップ 12.2.7

最終的な答えは $2$ です。

$y = 2$

ステップ 13

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 4 x + 8}$ の極値です。

$(- 2, 2)$ は極小値です

ステップ 14

微分積分 例

微分積分例