微分積分例

$x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$

ステップ 1

$x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$ を関数で書きます。

$f (x) = x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

ステップ 2.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 x^{3}$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

ステップ 2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

ステップ 2.2.3

$3$ に $- 12$ をかけます。

$4 x^{3} - 36 x^{2} + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$48$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $48 x^{2}$ の微分係数は $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

ステップ 2.3.3

$2$ に $48$ をかけます。

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [- 64 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

$- 64$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 64 x$ の微分係数は $- 64 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \cdot 1$

ステップ 2.4.3

$- 64$ に $1$ をかけます。

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 3.1

総和則では、 $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 64]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

ステップ 3.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

ステップ 3.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$- 36$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 36 x^{2}$ の微分係数は $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

ステップ 3.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 (2 x) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

ステップ 3.3.3

$2$ に $- 36$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [96 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.4.1

$96$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $96 x$ の微分係数は $96 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

ステップ 3.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 64)$

ステップ 3.4.3

$96$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 + \frac{d}{d x} (- 64)$

ステップ 3.5

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 3.5.1

$- 64$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 64$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 + 0$

ステップ 3.5.2

$12 x^{2} - 72 x + 96$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$

ステップ 5

一次導関数を求めます。

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ステップ 5.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

微分します。

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ステップ 5.1.1.1

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

ステップ 5.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

ステップ 5.1.2

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 5.1.2.1

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 x^{3}$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

ステップ 5.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

ステップ 5.1.2.3

$3$ に $- 12$ をかけます。

$4 x^{3} - 36 x^{2} + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

ステップ 5.1.3

$\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 5.1.3.1

$48$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $48 x^{2}$ の微分係数は $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

ステップ 5.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

ステップ 5.1.3.3

$2$ に $48$ をかけます。

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

ステップ 5.1.4

$\frac{d}{d x} [- 64 x]$ の値を求めます。

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ステップ 5.1.4.1

$- 64$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 64 x$ の微分係数は $- 64 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \cdot 1$

ステップ 5.1.4.3

$- 64$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

ステップ 5.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ です。

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

ステップ 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$ を解きます。

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ステップ 6.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$

ステップ 6.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 6.2.1

$4$ を $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ で因数分解します。

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ステップ 6.2.1.1

$4$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$4 (x^{3}) - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$

ステップ 6.2.1.2

$4$ を $- 36 x^{2}$ で因数分解します。

$4 (x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 96 x - 64 = 0$

ステップ 6.2.1.3

$4$ を $96 x$ で因数分解します。

$4 (x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (24 x) - 64 = 0$

ステップ 6.2.1.4

$4$ を $- 64$ で因数分解します。

$4 x^{3} + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

ステップ 6.2.1.5

$4$ を $4 x^{3} + 4 (- 9 x^{2})$ で因数分解します。

$4 (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

ステップ 6.2.1.6

$4$ を $4 (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (24 x)$ で因数分解します。

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

ステップ 6.2.1.7

$4$ を $4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 \cdot - 16$ で因数分解します。

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16) = 0$

ステップ 6.2.2

有理根検定を用いて $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ を因数分解します。

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ステップ 6.2.2.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

ステップ 6.2.2.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

ステップ 6.2.2.3

$1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $1$ は多項式の根です。

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ステップ 6.2.2.3.1

$1$ を多項式に代入します。

$1^{3} - 9 \cdot 1^{2} + 24 \cdot 1 - 16$

ステップ 6.2.2.3.2

$1$ を $3$ 乗します。

$1 - 9 \cdot 1^{2} + 24 \cdot 1 - 16$

ステップ 6.2.2.3.3

$1$ を $2$ 乗します。

$1 - 9 \cdot 1 + 24 \cdot 1 - 16$

ステップ 6.2.2.3.4

$- 9$ に $1$ をかけます。

$1 - 9 + 24 \cdot 1 - 16$

ステップ 6.2.2.3.5

$1$ から $9$ を引きます。

$- 8 + 24 \cdot 1 - 16$

ステップ 6.2.2.3.6

$24$ に $1$ をかけます。

$- 8 + 24 - 16$

ステップ 6.2.2.3.7

$- 8$ と $24$ をたし算します。

$16 - 16$

ステップ 6.2.2.3.8

$16$ から $16$ を引きます。

$0$

ステップ 6.2.2.4

$1$ は既知の根なので、多項式を $x - 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16}{x - 1}$

ステップ 6.2.2.5

$x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ を $x - 1$ で割ります。

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ステップ 6.2.2.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$24 x$

$16$

ステップ 6.2.2.5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$

ステップ 6.2.2.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

ステップ 6.2.2.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} - x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

ステップ 6.2.2.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

ステップ 6.2.2.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$

ステップ 6.2.2.5.7

被除数 $- 8 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$

ステップ 6.2.2.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$

ステップ 6.2.2.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 8 x^{2} + 8 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$

ステップ 6.2.2.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$

ステップ 6.2.2.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$

ステップ 6.2.2.5.12

被除数 $16 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$

ステップ 6.2.2.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							+	$16 x$	-	$16$

ステップ 6.2.2.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $16 x - 16$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							-	$16 x$	+	$16$

ステップ 6.2.2.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							-	$16 x$	+	$16$
										$0$

ステップ 6.2.2.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} - 8 x + 16$

ステップ 6.2.2.6

$x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ を因数の集合として書き換えます。

$4 ((x - 1) (x^{2} - 8 x + 16)) = 0$

ステップ 6.2.3

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$4 ((x - 1) (x^{2} - 8 x + 4^{2})) = 0$

ステップ 6.2.3.1.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

ステップ 6.2.3.1.3

多項式を書き換えます。

$4 ((x - 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

ステップ 6.2.3.1.4

$a = x$ と $b = 4$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$4 ((x - 1) {(x - 4)}^{2}) = 0$

ステップ 6.2.3.2

不要な括弧を削除します。

$4 (x - 1) {(x - 4)}^{2} = 0$

ステップ 6.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 1 = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

ステップ 6.4

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 6.4.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 6.5

${(x - 4)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

${(x - 4)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 4)}^{2} = 0$

ステップ 6.5.2

$x$ について ${(x - 4)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 6.5.2.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 6.6

最終解は $4 (x - 1) {(x - 4)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1, 4$

ステップ 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 8

値を求める臨界点です。

$x = 1, 4$

ステップ 9

$x = 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$12 {(1)}^{2} - 72 \cdot 1 + 96$

ステップ 10

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$12 \cdot 1 - 72 \cdot 1 + 96$

ステップ 10.1.2

$12$ に $1$ をかけます。

$12 - 72 \cdot 1 + 96$

ステップ 10.1.3

$- 72$ に $1$ をかけます。

$12 - 72 + 96$

ステップ 10.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

$12$ から $72$ を引きます。

$- 60 + 96$

ステップ 10.2.2

$- 60$ と $96$ をたし算します。

$36$

ステップ 11

$x = 1$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 1$ は極小値です

ステップ 12

$x = 1$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = {(1)}^{4} - 12 {(1)}^{3} + 48 {(1)}^{2} - 64 \cdot 1$

ステップ 12.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 1 - 12 {(1)}^{3} + 48 {(1)}^{2} - 64 \cdot 1$

ステップ 12.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 1 - 12 \cdot 1 + 48 {(1)}^{2} - 64 \cdot 1$

ステップ 12.2.1.3

$- 12$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 1 - 12 + 48 {(1)}^{2} - 64 \cdot 1$

ステップ 12.2.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 1 - 12 + 48 \cdot 1 - 64 \cdot 1$

ステップ 12.2.1.5

$48$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 1 - 12 + 48 - 64 \cdot 1$

ステップ 12.2.1.6

$- 64$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 1 - 12 + 48 - 64$

ステップ 12.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.2.1

$1$ から $12$ を引きます。

$f (1) = - 11 + 48 - 64$

ステップ 12.2.2.2

$- 11$ と $48$ をたし算します。

$f (1) = 37 - 64$

ステップ 12.2.2.3

$37$ から $64$ を引きます。

$f (1) = - 27$

ステップ 12.2.3

最終的な答えは $- 27$ です。

$y = - 27$

ステップ 13

$x = 4$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$12 {(4)}^{2} - 72 \cdot 4 + 96$

ステップ 14

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$12 \cdot 16 - 72 \cdot 4 + 96$

ステップ 14.1.2

$12$ に $16$ をかけます。

$192 - 72 \cdot 4 + 96$

ステップ 14.1.3

$- 72$ に $4$ をかけます。

$192 - 288 + 96$

ステップ 14.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1

$192$ から $288$ を引きます。

$- 96 + 96$

ステップ 14.2.2

$- 96$ と $96$ をたし算します。

$0$

ステップ 15

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 1) \cup (1, 4) \cup (4, \infty)$

ステップ 15.2

一次導関数 $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ の区間 $(- \infty, 1)$ から $0$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 15.2.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f' (0) = 4 {(0)}^{3} - 36 {(0)}^{2} + 96 (0) - 64$

ステップ 15.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f' (0) = 4 \cdot 0 - 36 {(0)}^{2} + 96 (0) - 64$

ステップ 15.2.2.1.2

$4$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = 0 - 36 {(0)}^{2} + 96 (0) - 64$

ステップ 15.2.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f' (0) = 0 - 36 \cdot 0 + 96 (0) - 64$

ステップ 15.2.2.1.4

$- 36$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = 0 + 0 + 96 (0) - 64$

ステップ 15.2.2.1.5

$96$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = 0 + 0 + 0 - 64$

ステップ 15.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f' (0) = 0 + 0 - 64$

ステップ 15.2.2.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$f' (0) = 0 - 64$

ステップ 15.2.2.2.3

$0$ から $64$ を引きます。

$f' (0) = - 64$

ステップ 15.2.2.3

最終的な答えは $- 64$ です。

$- 64$

ステップ 15.3

一次導関数 $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ の区間 $(1, 4)$ から $2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.3.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f' (2) = 4 {(2)}^{3} - 36 {(2)}^{2} + 96 (2) - 64$

ステップ 15.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.3.2.1.1

$2$ を $3$ 乗します。

$f' (2) = 4 \cdot 8 - 36 {(2)}^{2} + 96 (2) - 64$

ステップ 15.3.2.1.2

$4$ に $8$ をかけます。

$f' (2) = 32 - 36 {(2)}^{2} + 96 (2) - 64$

ステップ 15.3.2.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$f' (2) = 32 - 36 \cdot 4 + 96 (2) - 64$

ステップ 15.3.2.1.4

$- 36$ に $4$ をかけます。

$f' (2) = 32 - 144 + 96 (2) - 64$

ステップ 15.3.2.1.5

$96$ に $2$ をかけます。

$f' (2) = 32 - 144 + 192 - 64$

ステップ 15.3.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.3.2.2.1

$32$ から $144$ を引きます。

$f' (2) = - 112 + 192 - 64$

ステップ 15.3.2.2.2

$- 112$ と $192$ をたし算します。

$f' (2) = 80 - 64$

ステップ 15.3.2.2.3

$80$ から $64$ を引きます。

$f' (2) = 16$

ステップ 15.3.2.3

最終的な答えは $16$ です。

$16$

ステップ 15.4

一次導関数 $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ の区間 $(4, \infty)$ から $6$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.4.1

式の変数 $x$ を $6$ で置換えます。

$f' (6) = 4 {(6)}^{3} - 36 {(6)}^{2} + 96 (6) - 64$

ステップ 15.4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.4.2.1.1

$6$ を $3$ 乗します。

$f' (6) = 4 \cdot 216 - 36 {(6)}^{2} + 96 (6) - 64$

ステップ 15.4.2.1.2

$4$ に $216$ をかけます。

$f' (6) = 864 - 36 {(6)}^{2} + 96 (6) - 64$

ステップ 15.4.2.1.3

$6$ を $2$ 乗します。

$f' (6) = 864 - 36 \cdot 36 + 96 (6) - 64$

ステップ 15.4.2.1.4

$- 36$ に $36$ をかけます。

$f' (6) = 864 - 1296 + 96 (6) - 64$

ステップ 15.4.2.1.5

$96$ に $6$ をかけます。

$f' (6) = 864 - 1296 + 576 - 64$

ステップ 15.4.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.4.2.2.1

$864$ から $1296$ を引きます。

$f' (6) = - 432 + 576 - 64$

ステップ 15.4.2.2.2

$- 432$ と $576$ をたし算します。

$f' (6) = 144 - 64$

ステップ 15.4.2.2.3

$144$ から $64$ を引きます。

$f' (6) = 80$

ステップ 15.4.2.3

最終的な答えは $80$ です。

$80$

ステップ 15.5

$x = 1$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = 1$ は極小値です。

$x = 1$ は極小値です

ステップ 15.6

$x = 4$ の周囲で一次導関数の符号が変化しなかったので、これは極大値または極小値ではありません。

極大値または極小値ではありません

ステップ 15.7

$f (x) = x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$ の極値です。

$x = 1$ は極小値です

ステップ 16

微分積分 例

微分積分例