微分積分例

$x^{3} + 12 x^{2} - 60 x + 1$

ステップ 1

$x^{3} + 12 x^{2} - 60 x + 1$ を関数で書きます。

$f (x) = x^{3} + 12 x^{2} - 60 x + 1$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $x^{3} + 12 x^{2} - 60 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x^{2}$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.3

$2$ に $12$ をかけます。

$3 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 60 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 60$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 60 x$ の微分係数は $- 60 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 x^{2} + 24 x - 60 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + 24 x - 60 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.3

$- 60$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} + 24 x - 60 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} + 24 x - 60 + 0$

ステップ 2.4.2

$3 x^{2} + 24 x - 60$ と $0$ をたし算します。

$3 x^{2} + 24 x - 60$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $3 x^{2} + 24 x - 60$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 60]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (- 60)$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (- 60)$

ステップ 3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (- 60)$

ステップ 3.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (- 60)$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [24 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $24 x$ の微分係数は $24 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 6 x + 24 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 60)$

ステップ 3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 x + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 60)$

ステップ 3.3.3

$24$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x + 24 + \frac{d}{d x} (- 60)$

ステップ 3.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$- 60$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 60$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 6 x + 24 + 0$

ステップ 3.4.2

$6 x + 24$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 6 x + 24$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$3 x^{2} + 24 x - 60 = 0$

ステップ 5

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.1

総和則では、 $x^{3} + 12 x^{2} - 60 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5.1.2

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x^{2}$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5.1.2.3

$2$ に $12$ をかけます。

$3 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5.1.3

$\frac{d}{d x} [- 60 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

$- 60$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 60 x$ の微分係数は $- 60 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 x^{2} + 24 x - 60 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + 24 x - 60 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5.1.3.3

$- 60$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} + 24 x - 60 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 5.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} + 24 x - 60 + 0$

ステップ 5.1.4.2

$3 x^{2} + 24 x - 60$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2} + 24 x - 60$

ステップ 5.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} + 24 x - 60$ です。

$3 x^{2} + 24 x - 60$

ステップ 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} + 24 x - 60 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} + 24 x - 60 = 0$

ステップ 6.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 6.2.1

$3$ を $3 x^{2} + 24 x - 60$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$3$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$3 (x^{2}) + 24 x - 60 = 0$

ステップ 6.2.1.2

$3$ を $24 x$ で因数分解します。

$3 (x^{2}) + 3 (8 x) - 60 = 0$

ステップ 6.2.1.3

$3$ を $- 60$ で因数分解します。

$3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot - 20 = 0$

ステップ 6.2.1.4

$3$ を $3 x^{2} + 3 (8 x)$ で因数分解します。

$3 (x^{2} + 8 x) + 3 \cdot - 20 = 0$

ステップ 6.2.1.5

$3$ を $3 (x^{2} + 8 x) + 3 \cdot - 20$ で因数分解します。

$3 (x^{2} + 8 x - 20) = 0$

ステップ 6.2.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 8 x - 20$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 20$ で、その和が $8$ です。

$- 2, 10$

ステップ 6.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$3 ((x - 2) (x + 10)) = 0$

ステップ 6.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$3 (x - 2) (x + 10) = 0$

ステップ 6.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 2 = 0$

$x + 10 = 0$

ステップ 6.4

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 6.4.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 6.5

$x + 10$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

$x + 10$ が $0$ に等しいとします。

$x + 10 = 0$

ステップ 6.5.2

方程式の両辺から $10$ を引きます。

$x = - 10$

ステップ 6.6

最終解は $3 (x - 2) (x + 10) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2, - 10$

ステップ 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 8

値を求める臨界点です。

$x = 2, - 10$

ステップ 9

$x = 2$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$6 (2) + 24$

ステップ 10

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$6$ に $2$ をかけます。

$12 + 24$

ステップ 10.2

$12$ と $24$ をたし算します。

$36$

ステップ 11

$x = 2$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 2$ は極小値です

ステップ 12

$x = 2$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = {(2)}^{3} + 12 {(2)}^{2} - 60 \cdot 2 + 1$

ステップ 12.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.1

$2$ を $3$ 乗します。

$f (2) = 8 + 12 {(2)}^{2} - 60 \cdot 2 + 1$

ステップ 12.2.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$f (2) = 8 + 12 \cdot 4 - 60 \cdot 2 + 1$

ステップ 12.2.1.3

$12$ に $4$ をかけます。

$f (2) = 8 + 48 - 60 \cdot 2 + 1$

ステップ 12.2.1.4

$- 60$ に $2$ をかけます。

$f (2) = 8 + 48 - 120 + 1$

ステップ 12.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.2.1

$8$ と $48$ をたし算します。

$f (2) = 56 - 120 + 1$

ステップ 12.2.2.2

$56$ から $120$ を引きます。

$f (2) = - 64 + 1$

ステップ 12.2.2.3

$- 64$ と $1$ をたし算します。

$f (2) = - 63$

ステップ 12.2.3

最終的な答えは $- 63$ です。

$y = - 63$

ステップ 13

$x = - 10$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$6 (- 10) + 24$

ステップ 14

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$6$ に $- 10$ をかけます。

$- 60 + 24$

ステップ 14.2

$- 60$ と $24$ をたし算します。

$- 36$

ステップ 15

$x = - 10$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 10$ は極大値です

ステップ 16

$x = - 10$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

式の変数 $x$ を $- 10$ で置換えます。

$f (- 10) = {(- 10)}^{3} + 12 {(- 10)}^{2} - 60 \cdot - 10 + 1$

ステップ 16.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.1

$- 10$ を $3$ 乗します。

$f (- 10) = - 1000 + 12 {(- 10)}^{2} - 60 \cdot - 10 + 1$

ステップ 16.2.1.2

$- 10$ を $2$ 乗します。

$f (- 10) = - 1000 + 12 \cdot 100 - 60 \cdot - 10 + 1$

ステップ 16.2.1.3

$12$ に $100$ をかけます。

$f (- 10) = - 1000 + 1200 - 60 \cdot - 10 + 1$

ステップ 16.2.1.4

$- 60$ に $- 10$ をかけます。

$f (- 10) = - 1000 + 1200 + 600 + 1$

ステップ 16.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.2.1

$- 1000$ と $1200$ をたし算します。

$f (- 10) = 200 + 600 + 1$

ステップ 16.2.2.2

$200$ と $600$ をたし算します。

$f (- 10) = 800 + 1$

ステップ 16.2.2.3

$800$ と $1$ をたし算します。

$f (- 10) = 801$

ステップ 16.2.3

最終的な答えは $801$ です。

$y = 801$

ステップ 17

$f (x) = x^{3} + 12 x^{2} - 60 x + 1$ の極値です。

$(2, - 63)$ は極小値です

$(- 10, 801)$ は極大値です

ステップ 18

微分積分 例

微分積分例