微分積分例

$(x^{2} - 2 x) e^{x}$

ステップ 1

$(x^{2} - 2 x) e^{x}$ を関数で書きます。

$f (x) = (x^{2} - 2 x) e^{x}$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = x^{2} - 2 x$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

ステップ 2.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

総和則では、 $x^{2} - 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ です。

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

ステップ 2.3.3

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} (2 x - 2 \cdot 1)$

ステップ 2.3.5

$- 2$ に $1$ をかけます。

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} (2 x - 2)$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + e^{x} (2 x - 2)$

ステップ 2.4.2

分配則を当てはめます。

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 2$

ステップ 2.4.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1

$- 2$ を $e^{x}$ の左に移動させます。

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 \cdot e^{x}$

ステップ 2.4.3.2

$- 2 x e^{x}$ と $e^{x} (2 x)$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.2.1

$e^{x}$ を移動させます。

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x}$

ステップ 2.4.3.2.2

$- 2 x e^{x}$ と $2 x e^{x}$ をたし算します。

$x^{2} e^{x} + 0 - 2 e^{x}$

ステップ 2.4.3.3

$x^{2} e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$x^{2} e^{x} - 2 e^{x}$

ステップ 2.4.4

項を並べ替えます。

$e^{x} x^{2} - 2 e^{x}$

ステップ 2.4.5

$e^{x} x^{2} - 2 e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$x^{2} e^{x} - 2 e^{x}$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $x^{2} e^{x} - 2 e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{x})$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{x})$

ステップ 3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{x})$

ステップ 3.2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{x})$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 e^{x}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 \frac{d}{d x} e^{x}$

ステップ 3.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 e^{x}$

ステップ 3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

項を並べ替えます。

$f'' (x) = e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x - 2 e^{x}$

ステップ 3.4.2

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x - 2 e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x}$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$x^{2} e^{x} - 2 e^{x} = 0$

ステップ 5

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$(x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

ステップ 5.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

ステップ 5.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

総和則では、 $x^{2} - 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ です。

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

ステップ 5.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

ステップ 5.1.3.3

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5.1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} (2 x - 2 \cdot 1)$

ステップ 5.1.3.5

$- 2$ に $1$ をかけます。

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} (2 x - 2)$

ステップ 5.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + e^{x} (2 x - 2)$

ステップ 5.1.4.2

分配則を当てはめます。

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 2$

ステップ 5.1.4.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.3.1

$- 2$ を $e^{x}$ の左に移動させます。

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 \cdot e^{x}$

ステップ 5.1.4.3.2

$- 2 x e^{x}$ と $e^{x} (2 x)$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.3.2.1

$e^{x}$ を移動させます。

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x}$

ステップ 5.1.4.3.2.2

$- 2 x e^{x}$ と $2 x e^{x}$ をたし算します。

$x^{2} e^{x} + 0 - 2 e^{x}$

ステップ 5.1.4.3.3

$x^{2} e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$x^{2} e^{x} - 2 e^{x}$

ステップ 5.1.4.4

項を並べ替えます。

$e^{x} x^{2} - 2 e^{x}$

ステップ 5.1.4.5

$e^{x} x^{2} - 2 e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = x^{2} e^{x} - 2 e^{x}$

ステップ 5.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $x^{2} e^{x} - 2 e^{x}$ です。

$x^{2} e^{x} - 2 e^{x}$

ステップ 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $x^{2} e^{x} - 2 e^{x} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$x^{2} e^{x} - 2 e^{x} = 0$

ステップ 6.2

$e^{x}$ を $x^{2} e^{x} - 2 e^{x}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$e^{x}$ を $x^{2} e^{x}$ で因数分解します。

$e^{x} x^{2} - 2 e^{x} = 0$

ステップ 6.2.2

$e^{x}$ を $- 2 e^{x}$ で因数分解します。

$e^{x} x^{2} + e^{x} \cdot - 2 = 0$

ステップ 6.2.3

$e^{x}$ を $e^{x} x^{2} + e^{x} \cdot - 2$ で因数分解します。

$e^{x} (x^{2} - 2) = 0$

ステップ 6.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{x} = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

ステップ 6.4

$e^{x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$e^{x}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{x} = 0$

ステップ 6.4.2

$x$ について $e^{x} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

ステップ 6.4.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 6.4.2.3

$e^{x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 6.5

$x^{2} - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

$x^{2} - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 2 = 0$

ステップ 6.5.2

$x$ について $x^{2} - 2 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x^{2} = 2$

ステップ 6.5.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{2}$

ステップ 6.5.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{2}$

ステップ 6.5.2.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{2}$

ステップ 6.5.2.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

ステップ 6.6

最終解は $e^{x} (x^{2} - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

ステップ 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 8

値を求める臨界点です。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

ステップ 9

$x = \sqrt{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

${(\sqrt{2})}^{2} e^{\sqrt{2}} + 2 (\sqrt{2}) e^{\sqrt{2}} - 2 e^{\sqrt{2}}$

ステップ 10

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{\sqrt{2}} + 2 (\sqrt{2}) e^{\sqrt{2}} - 2 e^{\sqrt{2}}$

ステップ 10.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{\sqrt{2}} + 2 (\sqrt{2}) e^{\sqrt{2}} - 2 e^{\sqrt{2}}$

ステップ 10.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$2^{\frac{2}{2}} e^{\sqrt{2}} + 2 (\sqrt{2}) e^{\sqrt{2}} - 2 e^{\sqrt{2}}$

ステップ 10.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.4.1

共通因数を約分します。

$2^{\frac{2}{2}} e^{\sqrt{2}} + 2 (\sqrt{2}) e^{\sqrt{2}} - 2 e^{\sqrt{2}}$

ステップ 10.1.4.2

式を書き換えます。

$2^{1} e^{\sqrt{2}} + 2 (\sqrt{2}) e^{\sqrt{2}} - 2 e^{\sqrt{2}}$

ステップ 10.1.5

指数を求めます。

$2 e^{\sqrt{2}} + 2 (\sqrt{2}) e^{\sqrt{2}} - 2 e^{\sqrt{2}}$

$2 e^{\sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}} - 2 e^{\sqrt{2}}$

ステップ 10.2

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

$2 e^{\sqrt{2}}$ から $2 e^{\sqrt{2}}$ を引きます。

$2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}} + 0$

ステップ 10.2.2

$2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}}$ と $0$ をたし算します。

$2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}}$

ステップ 11

$x = \sqrt{2}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \sqrt{2}$ は極小値です

ステップ 12

$x = \sqrt{2}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

式の変数 $x$ を $\sqrt{2}$ で置換えます。

$f (\sqrt{2}) = ({(\sqrt{2})}^{2} - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{\sqrt{2}}$

ステップ 12.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\sqrt{2}) = ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{\sqrt{2}}$

ステップ 12.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\sqrt{2}) = (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{\sqrt{2}}$

ステップ 12.2.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (\sqrt{2}) = (2^{\frac{2}{2}} - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{\sqrt{2}}$

ステップ 12.2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$f (\sqrt{2}) = (2^{\frac{2}{2}} - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{\sqrt{2}}$

ステップ 12.2.1.4.2

式を書き換えます。

$f (\sqrt{2}) = (2 - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{\sqrt{2}}$

ステップ 12.2.1.5

指数を求めます。

$f (\sqrt{2}) = (2 - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{\sqrt{2}}$

ステップ 12.2.2

分配則を当てはめます。

$f (\sqrt{2}) = 2 e^{\sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}}$

ステップ 12.2.3

最終的な答えは $2 e^{\sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}}$ です。

$y = 2 e^{\sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}}$

ステップ 13

$x = - \sqrt{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

${(- \sqrt{2})}^{2} e^{- \sqrt{2}} + 2 (- \sqrt{2}) e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

ステップ 14

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.1

積の法則を $- \sqrt{2}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} e^{- \sqrt{2}} + 2 (- \sqrt{2}) e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

ステップ 14.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 {\sqrt{2}}^{2} e^{- \sqrt{2}} + 2 (- \sqrt{2}) e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

ステップ 14.1.3

${\sqrt{2}}^{2}$ に $1$ をかけます。

${\sqrt{2}}^{2} e^{- \sqrt{2}} + 2 (- \sqrt{2}) e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

ステップ 14.1.4

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{- \sqrt{2}} + 2 (- \sqrt{2}) e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

ステップ 14.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{- \sqrt{2}} + 2 (- \sqrt{2}) e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

ステップ 14.1.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$2^{\frac{2}{2}} e^{- \sqrt{2}} + 2 (- \sqrt{2}) e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

ステップ 14.1.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.4.4.1

共通因数を約分します。

$2^{\frac{2}{2}} e^{- \sqrt{2}} + 2 (- \sqrt{2}) e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

ステップ 14.1.4.4.2

式を書き換えます。

$2^{1} e^{- \sqrt{2}} + 2 (- \sqrt{2}) e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

ステップ 14.1.4.5

指数を求めます。

$2 e^{- \sqrt{2}} + 2 (- \sqrt{2}) e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

ステップ 14.1.5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 e^{- \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

ステップ 14.2

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1

$2 e^{- \sqrt{2}}$ から $2 e^{- \sqrt{2}}$ を引きます。

$- 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}} + 0$

ステップ 14.2.2

$- 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}}$ と $0$ をたし算します。

$- 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}}$

ステップ 15

$x = - \sqrt{2}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - \sqrt{2}$ は極大値です

ステップ 16

$x = - \sqrt{2}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

式の変数 $x$ を $- \sqrt{2}$ で置換えます。

$f (- \sqrt{2}) = ({(- \sqrt{2})}^{2} - 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

ステップ 16.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.1

積の法則を $- \sqrt{2}$ に当てはめます。

$f (- \sqrt{2}) = ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

ステップ 16.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- \sqrt{2}) = (1 {\sqrt{2}}^{2} - 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

ステップ 16.2.1.3

${\sqrt{2}}^{2}$ に $1$ をかけます。

$f (- \sqrt{2}) = ({\sqrt{2}}^{2} - 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

ステップ 16.2.1.4

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (- \sqrt{2}) = ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

ステップ 16.2.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- \sqrt{2}) = (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

ステップ 16.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (- \sqrt{2}) = (2^{\frac{2}{2}} - 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

ステップ 16.2.1.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.4.4.1

共通因数を約分します。

$f (- \sqrt{2}) = (2^{\frac{2}{2}} - 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

ステップ 16.2.1.4.4.2

式を書き換えます。

$f (- \sqrt{2}) = (2 - 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

ステップ 16.2.1.4.5

指数を求めます。

$f (- \sqrt{2}) = (2 - 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

ステップ 16.2.1.5

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$f (- \sqrt{2}) = (2 + 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

ステップ 16.2.2

分配則を当てはめます。

$f (- \sqrt{2}) = 2 e^{- \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}}$

ステップ 16.2.3

最終的な答えは $2 e^{- \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}}$ です。

$y = 2 e^{- \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}}$

ステップ 17

$f (x) = (x^{2} - 2 x) e^{x}$ の極値です。

$(\sqrt{2}, 2 e^{\sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}})$ は極小値です

$(- \sqrt{2}, 2 e^{- \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}})$ は極大値です

ステップ 18

微分積分 例

微分積分例