微分積分例

$v (t) = 3 t \sqrt{9 - t^{2}}$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{9 - t^{2}}$ を ${(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d t} [3 t {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.2

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $3 t {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d t} [t {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ です。

$3 \frac{d}{d t} [t {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2

$f (t) = t$ および $g (t) = {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$3 (t \frac{d}{d t} [{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 3

$f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ および $g (t) = 9 - t^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $9 - t^{2}$ とします。

$3 (t (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (t (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $9 - t^{2}$ で置き換えます。

$3 (t (\frac{1}{2} {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$3 (t (\frac{1}{2} {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$3 (t (\frac{1}{2} {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$3 (t (\frac{1}{2} {(9 - t^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$3 (t (\frac{1}{2} {(9 - t^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$3 (t (\frac{1}{2} {(9 - t^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 8

分数をまとめます。

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ステップ 8.1

分数の前に負数を移動させます。

$3 (t (\frac{1}{2} {(9 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 8.2

$\frac{1}{2}$ と ${(9 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$3 (t (\frac{{(9 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(9 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$3 (t (\frac{1}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 8.4

$\frac{1}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $t$ をまとめます。

$3 (\frac{t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}] + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 9

総和則では、 $9 - t^{2}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [9] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ です。

$3 (\frac{t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [9] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 10

$9$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$3 (\frac{t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [- t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 11

$0$ と $\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ をたし算します。

$3 (\frac{t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- t^{2}] + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 12

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- t^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$3 (\frac{t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d t} [t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 13

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (\frac{t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 t)) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 14

分数をまとめます。

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ステップ 14.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$3 (\frac{t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 t) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 14.2

$- 2$ と $\frac{t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$3 (\frac{- 2 t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} t + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 14.3

$\frac{- 2 t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $t$ をまとめます。

$3 (\frac{- 2 t \cdot t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 15

$t$ を $1$ 乗します。

$3 (\frac{- 2 (t^{1} t)}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 16

$t$ を $1$ 乗します。

$3 (\frac{- 2 (t^{1} t^{1})}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 17

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 (\frac{- 2 t^{1 + 1}}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 18

$1$ と $1$ をたし算します。

$3 (\frac{- 2 t^{2}}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 19

$2$ を $- 2 t^{2}$ で因数分解します。

$3 (\frac{2 (- t^{2})}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 20

共通因数を約分します。

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ステップ 20.1

$2$ を $2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$3 (\frac{2 (- t^{2})}{2 ({(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 20.2

共通因数を約分します。

$3 (\frac{2 (- t^{2})}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 20.3

式を書き換えます。

$3 (\frac{- t^{2}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 21

分数の前に負数を移動させます。

$3 (- \frac{t^{2}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 22

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (- \frac{t^{2}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

ステップ 23

${(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$3 (- \frac{t^{2}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 24

${(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$3 (- \frac{t^{2}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 25

公分母の分子をまとめます。

$3 \frac{- t^{2} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 26

指数を足して ${(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に ${(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 26.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 \frac{- t^{2} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 26.2

公分母の分子をまとめます。

$3 \frac{- t^{2} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 26.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$3 \frac{- t^{2} + {(9 - t^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 26.4

$2$ を $2$ で割ります。

$3 \frac{- t^{2} + {(9 - t^{2})}^{1}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 27

${(9 - t^{2})}^{1}$ を簡約します。

$3 \frac{- t^{2} + 9 - t^{2}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 28

$- t^{2}$ から $t^{2}$ を引きます。

$3 \frac{- 2 t^{2} + 9}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 29

$3$ と $\frac{- 2 t^{2} + 9}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{3 (- 2 t^{2} + 9)}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 30

簡約します。

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ステップ 30.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 (- 2 t^{2}) + 3 \cdot 9}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 30.2

各項を簡約します。

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ステップ 30.2.1

$- 2$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 6 t^{2} + 3 \cdot 9}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 30.2.2

$3$ に $9$ をかけます。

$\frac{- 6 t^{2} + 27}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 30.3

項を並べ替えます。

$\frac{- 6 t^{2} + 27}{{(- t^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例