微分積分例

$s (t) = 2 \arccos (t - 1)$

ステップ 1

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 \arccos (t - 1)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [\arccos (t - 1)]$ です。

$2 \frac{d}{d t} [\arccos (t - 1)]$

ステップ 2

$f (t) = \arccos (t)$ および $g (t) = t - 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $t - 1$ とします。

$2 (\frac{d}{d u} [\arccos (u)] \frac{d}{d t} [t - 1])$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\arccos (u)$ の微分係数は $- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ です。

$2 (- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d t} [t - 1])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $t - 1$ で置き換えます。

$2 (- \frac{1}{\sqrt{1 - {(t - 1)}^{2}}} \frac{d}{d t} [t - 1])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(t - 1)}^{2}}} \frac{d}{d t} [t - 1])$

ステップ 3.2

分数をまとめます。

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ステップ 3.2.1

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(t - 1)}^{2}}}$ と $- 2$ をまとめます。

$\frac{- 2}{\sqrt{1 - {(t - 1)}^{2}}} \frac{d}{d t} [t - 1]$

ステップ 3.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(t - 1)}^{2}}} \frac{d}{d t} [t - 1]$

ステップ 3.3

総和則では、 $t - 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ です。

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(t - 1)}^{2}}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1])$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(t - 1)}^{2}}} (1 + \frac{d}{d t} [- 1])$

ステップ 3.5

$- 1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(t - 1)}^{2}}} (1 + 0)$

ステップ 3.6

式を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(t - 1)}^{2}}} \cdot 1$

ステップ 3.6.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(t - 1)}^{2}}}$

微分積分 例

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