微分積分例

$y = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{5}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.2.3

$5$ に $3$ をかけます。

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x^{3}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$15 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$15 x^{4} - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3.3

$3$ に $- 5$ をかけます。

$15 x^{4} - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$15 x^{4} - 15 x^{2} + 0$

ステップ 1.1.4.2

$15 x^{4} - 15 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 15 x^{4} - 15 x^{2}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $15 x^{4} - 15 x^{2}$ です。

$15 x^{4} - 15 x^{2}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $15 x^{4} - 15 x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$15 x^{4} - 15 x^{2} = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$15 {(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} = 0$

ステップ 2.2.2

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$15 u^{2} - 15 u = 0$

ステップ 2.2.3

$15 u$ を $15 u^{2} - 15 u$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.3.1

$15 u$ を $15 u^{2}$ で因数分解します。

$15 u (u) - 15 u = 0$

ステップ 2.2.3.2

$15 u$ を $- 15 u$ で因数分解します。

$15 u (u) + 15 u (- 1) = 0$

ステップ 2.2.3.3

$15 u$ を $15 u (u) + 15 u (- 1)$ で因数分解します。

$15 u (u - 1) = 0$

ステップ 2.2.4

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$15 x^{2} (x^{2} - 1) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 1 = 0$

ステップ 2.4

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 2.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 2.4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 2.4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.5

$x^{2} - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x^{2} - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 1 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $x^{2} - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x^{2} = 1$

ステップ 2.5.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{1}$

ステップ 2.5.2.3

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm 1$

ステップ 2.5.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.5.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 1$

ステップ 2.5.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 1$

ステップ 2.5.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 1, - 1$

ステップ 2.6

最終解は $15 x^{2} (x^{2} - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 1, - 1$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$3 {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{3} + 1$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$3 \cdot 0 - 5 {(0)}^{3} + 1$

ステップ 4.1.2.1.2

$3$ に $0$ をかけます。

$0 - 5 {(0)}^{3} + 1$

ステップ 4.1.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 5 \cdot 0 + 1$

ステップ 4.1.2.1.4

$- 5$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 1$

ステップ 4.1.2.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 4.1.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 1$

ステップ 4.1.2.2.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

ステップ 4.2

$x = 1$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$1$ を $x$ に代入します。

$3 {(1)}^{5} - 5 {(1)}^{3} + 1$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$3 \cdot 1 - 5 {(1)}^{3} + 1$

ステップ 4.2.2.1.2

$3$ に $1$ をかけます。

$3 - 5 {(1)}^{3} + 1$

ステップ 4.2.2.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$3 - 5 \cdot 1 + 1$

ステップ 4.2.2.1.4

$- 5$ に $1$ をかけます。

$3 - 5 + 1$

ステップ 4.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.2.2.1

$3$ から $5$ を引きます。

$- 2 + 1$

ステップ 4.2.2.2.2

$- 2$ と $1$ をたし算します。

$- 1$

ステップ 4.3

$x = - 1$ での値を求めます。

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ステップ 4.3.1

$- 1$ を $x$ に代入します。

$3 {(- 1)}^{5} - 5 {(- 1)}^{3} + 1$

ステップ 4.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1.1

$- 1$ を $5$ 乗します。

$3 \cdot - 1 - 5 {(- 1)}^{3} + 1$

ステップ 4.3.2.1.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 - 5 {(- 1)}^{3} + 1$

ステップ 4.3.2.1.3

$- 1$ を $3$ 乗します。

$- 3 - 5 \cdot - 1 + 1$

ステップ 4.3.2.1.4

$- 5$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 + 5 + 1$

ステップ 4.3.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

$- 3$ と $5$ をたし算します。

$2 + 1$

ステップ 4.3.2.2.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$3$

ステップ 4.4

点のすべてを一覧にします。

$(0, 1), (1, - 1), (- 1, 3)$

ステップ 5

微分積分 例

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