微分積分例

$f (x) = a x^{2} + b x + c$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $a x^{2} + b x + c$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$ です。

$\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [a x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$a$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $a x^{2}$ の微分係数は $a \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$a \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$a (2 x) + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

ステップ 1.1.2.3

$2$ を $a$ の左に移動させます。

$2 a x + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [b x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$b$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $b x$ の微分係数は $b \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 a x + b \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [c]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 a x + b \cdot 1 + \frac{d}{d x} [c]$

ステップ 1.1.3.3

$b$ に $1$ をかけます。

$2 a x + b + \frac{d}{d x} [c]$

ステップ 1.1.4

$c$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $c$ の微分係数は $0$ です。

$2 a x + b + 0$

ステップ 1.1.5

簡約します。

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ステップ 1.1.5.1

$2 a x + b$ と $0$ をたし算します。

$2 a x + b$

ステップ 1.1.5.2

項を並べ替えます。

$f' (x) = b + 2 a x$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $b + 2 a x$ です。

$b + 2 a x$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $b + 2 a x = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$b + 2 a x = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $b$ を引きます。

$2 a x = - b$

ステップ 2.3

$2 a x = - b$ の各項を $2 a$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$2 a x = - b$ の各項を $2 a$ で割ります。

$\frac{2 a x}{2 a} = \frac{- b}{2 a}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 a x}{2 a} = \frac{- b}{2 a}$

ステップ 2.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{a x}{a} = \frac{- b}{2 a}$

ステップ 2.3.2.2

$a$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{a x}{a} = \frac{- b}{2 a}$

ステップ 2.3.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- b}{2 a}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{b}{2 a}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $a x^{2} + b x + c$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = - \frac{b}{2 a}$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$- \frac{b}{2 a}$ を $x$ に代入します。

$a {(- \frac{b}{2 a})}^{2} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 4.1.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{b}{2 a}$ に当てはめます。

$a ({(- 1)}^{2} {(\frac{b}{2 a})}^{2}) + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

ステップ 4.1.2.1.1.2

積の法則を $\frac{b}{2 a}$ に当てはめます。

$a ({(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{{(2 a)}^{2}}) + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

ステップ 4.1.2.1.1.3

積の法則を $2 a$ に当てはめます。

$a ({(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{2^{2} a^{2}}) + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

ステップ 4.1.2.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

${(- 1)}^{2} a \frac{b^{2}}{2^{2} a^{2}} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

ステップ 4.1.2.1.3

$a$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.2.1.3.1

$a$ を ${(- 1)}^{2} a$ で因数分解します。

$a {(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{2^{2} a^{2}} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

ステップ 4.1.2.1.3.2

$a$ を $2^{2} a^{2}$ で因数分解します。

$a {(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{a (2^{2} a)} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

ステップ 4.1.2.1.3.3

共通因数を約分します。

$a {(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{a (2^{2} a)} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

ステップ 4.1.2.1.3.4

式を書き換えます。

${(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{2^{2} a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

ステップ 4.1.2.1.4

${(- 1)}^{2}$ と $\frac{b^{2}}{2^{2} a}$ をまとめます。

$\frac{{(- 1)}^{2} b^{2}}{2^{2} a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

ステップ 4.1.2.1.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.5.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\frac{1 b^{2}}{2^{2} a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

ステップ 4.1.2.1.5.2

$b^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{b^{2}}{2^{2} a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

ステップ 4.1.2.1.6

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{b^{2}}{4 a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

ステップ 4.1.2.1.7

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{b^{2}}{4 a} - b \frac{b}{2 a} + c$

ステップ 4.1.2.1.8

$- b \frac{b}{2 a}$ を掛けます。

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ステップ 4.1.2.1.8.1

$\frac{b}{2 a}$ と $b$ をまとめます。

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b \cdot b}{2 a} + c$

ステップ 4.1.2.1.8.2

$b$ を $1$ 乗します。

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{1} b}{2 a} + c$

ステップ 4.1.2.1.8.3

$b$ を $1$ 乗します。

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{1} b^{1}}{2 a} + c$

ステップ 4.1.2.1.8.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{1 + 1}}{2 a} + c$

ステップ 4.1.2.1.8.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{2}}{2 a} + c$

ステップ 4.1.2.2

$- \frac{b^{2}}{2 a}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{2}}{2 a} \cdot \frac{2}{2} + c$

ステップ 4.1.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4 a$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1.2.3.1

$\frac{b^{2}}{2 a}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{2} \cdot 2}{2 a \cdot 2} + c$

ステップ 4.1.2.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{2} \cdot 2}{4 a} + c$

ステップ 4.1.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{b^{2} - b^{2} \cdot 2}{4 a} + c$

ステップ 4.1.2.5

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.2.5.1.1

$b^{2}$ を $b^{2} - b^{2} \cdot 2$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.2.5.1.1.1

$1$ を掛けます。

$\frac{b^{2} \cdot 1 - b^{2} \cdot 2}{4 a} + c$

ステップ 4.1.2.5.1.1.2

$b^{2}$ を $- b^{2} \cdot 2$ で因数分解します。

$\frac{b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- 1 \cdot 2)}{4 a} + c$

ステップ 4.1.2.5.1.1.3

$b^{2}$ を $b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- 1 \cdot 2)$ で因数分解します。

$\frac{b^{2} (1 - 1 \cdot 2)}{4 a} + c$

ステップ 4.1.2.5.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{b^{2} (1 - 2)}{4 a} + c$

ステップ 4.1.2.5.1.3

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{b^{2} \cdot - 1}{4 a} + c$

ステップ 4.1.2.5.2

$- 1$ を $b^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{- 1 \cdot b^{2}}{4 a} + c$

ステップ 4.1.2.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{b^{2}}{4 a} + c$

ステップ 4.2

点のすべてを一覧にします。

$(- \frac{b}{2 a}, - \frac{b^{2}}{4 a} + c)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例