微分積分例

$y^{2} = \frac{1}{1 - x^{2}}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{1 - x^{2}})$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 y y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{1 - x^{2}}$ を ${(1 - x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{- 1}]$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = 1 - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 - x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 3.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $1 - x^{2}$ で置き換えます。

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 3.3

微分します。

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ステップ 3.3.1

総和則では、 $1 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 3.3.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 3.3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ をたし算します。

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 3.3.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.3.5

掛け算します。

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ステップ 3.3.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.3.5.2

${(1 - x^{2})}^{- 2}$ に $1$ をかけます。

${(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.3.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

${(1 - x^{2})}^{- 2} (2 x)$

ステップ 3.3.7

$2$ を ${(1 - x^{2})}^{- 2}$ の左に移動させます。

$2 \cdot {(1 - x^{2})}^{- 2} x$

ステップ 3.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$2 \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{2}} x$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

項をまとめます。

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ステップ 3.5.1.1

$2$ と $\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{2}{{(1 - x^{2})}^{2}} x$

ステップ 3.5.1.2

$\frac{2}{{(1 - x^{2})}^{2}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5.2

項を並べ替えます。

$\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$2 y y' = \frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5

$2 y y' = \frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$ の各項を $2 y$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1

$2 y y' = \frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$ の各項を $2 y$ で割ります。

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}}{2 y}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}}{2 y}$

ステップ 5.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}}{2 y}$

ステップ 5.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}}{2 y}$

ステップ 5.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}}{2 y}$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$y' = \frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{2 y}$

ステップ 5.3.2

項を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

まとめる。

$y' = \frac{2 x \cdot 1}{{(- x^{2} + 1)}^{2} (2 y)}$

ステップ 5.3.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{2 x \cdot 1}{{(- x^{2} + 1)}^{2} (2 y)}$

ステップ 5.3.2.2.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{x \cdot 1}{{(- x^{2} + 1)}^{2} (y)}$

ステップ 5.3.2.3

$x$ に $1$ をかけます。

$y' = \frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{2} y}$

ステップ 5.3.3

分母を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$y' = \frac{x}{{(- x^{2} + 1^{2})}^{2} y}$

ステップ 5.3.3.2

$- x^{2}$ と $1^{2}$ を並べ替えます。

$y' = \frac{x}{{(1^{2} - x^{2})}^{2} y}$

ステップ 5.3.3.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$y' = \frac{x}{{((1 + x) (1 - x))}^{2} y}$

ステップ 5.3.3.4

積の法則を $(1 + x) (1 - x)$ に当てはめます。

$y' = \frac{x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} y}$

ステップ 5.3.4

$\frac{x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} y}$ の因数を並べ替えます。

$y' = \frac{x}{y {(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y {(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

微分積分 例

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