微分積分例

$x^{\frac{6}{7}} + y^{\frac{8}{5}} = 9$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{6}{7}} + y^{\frac{8}{5}}) = \frac{d}{d x} (9)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x^{\frac{6}{7}} + y^{\frac{8}{5}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{7}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{7}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{7}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$n = \frac{6}{7}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{6}{7} x^{\frac{6}{7} - 1} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

ステップ 2.2.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{7}{7}$ を掛けます。

$\frac{6}{7} x^{\frac{6}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

ステップ 2.2.3

$- 1$ と $\frac{7}{7}$ をまとめます。

$\frac{6}{7} x^{\frac{6}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

ステップ 2.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{6}{7} x^{\frac{6 - 1 \cdot 7}{7}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

ステップ 2.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.2.5.1

$- 1$ に $7$ をかけます。

$\frac{6}{7} x^{\frac{6 - 7}{7}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

ステップ 2.2.5.2

$6$ から $7$ を引きます。

$\frac{6}{7} x^{\frac{- 1}{7}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

ステップ 2.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$f (x) = x^{\frac{8}{5}}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{8}{5}}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.3.1.2

$n = \frac{8}{5}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} u^{\frac{8}{5} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.3.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} y^{\frac{8}{5} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} y^{\frac{8}{5} - 1} y'$

ステップ 2.3.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} y^{\frac{8}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} y'$

ステップ 2.3.4

$- 1$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} y^{\frac{8}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} y'$

ステップ 2.3.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} y^{\frac{8 - 1 \cdot 5}{5}} y'$

ステップ 2.3.6

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.6.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} y^{\frac{8 - 5}{5}} y'$

ステップ 2.3.6.2

$8$ から $5$ を引きます。

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} y^{\frac{3}{5}} y'$

ステップ 2.3.7

$\frac{8}{5}$ と $y^{\frac{3}{5}}$ をまとめます。

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8 y^{\frac{3}{5}}}{5} y'$

ステップ 2.3.8

$\frac{8 y^{\frac{3}{5}}}{5}$ と $y'$ をまとめます。

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8 y^{\frac{3}{5}} y'}{5}$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{6}{7} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{7}}} + \frac{8 y^{\frac{3}{5}} y'}{5}$

ステップ 2.4.2

$\frac{6}{7}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{7}}}$ をかけます。

$\frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}} + \frac{8 y^{\frac{3}{5}} y'}{5}$

ステップ 3

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}} + \frac{8 y^{\frac{3}{5}} y'}{5} = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

$\frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}} + \frac{8 y^{\frac{3}{5}} y'}{5}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}} + \frac{8 y' y^{\frac{3}{5}}}{5} = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $\frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$ を引きます。

$\frac{8 y' y^{\frac{3}{5}}}{5} = - \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

ステップ 5.3

方程式の両辺に $\frac{5}{8}$ を掛けます。

$\frac{5}{8} \cdot \frac{8 y' y^{\frac{3}{5}}}{5} = \frac{5}{8} (- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}})$

ステップ 5.4

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 5.4.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.1.1

$\frac{5}{8} \cdot \frac{8 y' y^{\frac{3}{5}}}{5}$ を簡約します。

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ステップ 5.4.1.1.1

まとめる。

$\frac{5 (8 y' y^{\frac{3}{5}})}{8 \cdot 5} = \frac{5}{8} (- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}})$

ステップ 5.4.1.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 (8 y' y^{\frac{3}{5}})}{8 \cdot 5} = \frac{5}{8} (- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}})$

ステップ 5.4.1.1.3

式を書き換えます。

$\frac{8 y' y^{\frac{3}{5}}}{8} = \frac{5}{8} (- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}})$

ステップ 5.4.1.1.4

共通因数を約分します。

$\frac{8 y' y^{\frac{3}{5}}}{8} = \frac{5}{8} (- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}})$

ステップ 5.4.1.1.5

$y' y^{\frac{3}{5}}$ を $1$ で割ります。

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{5}{8} (- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}})$

ステップ 5.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$\frac{5}{8} (- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}})$ を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1.1.1

$- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{5}{8} \cdot \frac{- 6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

ステップ 5.4.2.1.1.2

$2$ を $8$ で因数分解します。

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{5}{2 (4)} \cdot \frac{- 6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

ステップ 5.4.2.1.1.3

$2$ を $- 6$ で因数分解します。

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{5}{2 \cdot 4} \cdot \frac{2 \cdot - 3}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

ステップ 5.4.2.1.1.4

共通因数を約分します。

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{5}{2 \cdot 4} \cdot \frac{2 \cdot - 3}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

ステップ 5.4.2.1.1.5

式を書き換えます。

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{5}{4} \cdot \frac{- 3}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

ステップ 5.4.2.1.2

$\frac{5}{4}$ に $\frac{- 3}{7 x^{\frac{1}{7}}}$ をかけます。

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{5 \cdot - 3}{4 (7 x^{\frac{1}{7}})}$

ステップ 5.4.2.1.3

式を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1.3.1

$5$ に $- 3$ をかけます。

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{- 15}{4 (7 x^{\frac{1}{7}})}$

ステップ 5.4.2.1.3.2

$7$ に $4$ をかけます。

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{- 15}{28 x^{\frac{1}{7}}}$

ステップ 5.4.2.1.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$y' y^{\frac{3}{5}} = - \frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}}$

ステップ 5.5

$y' y^{\frac{3}{5}} = - \frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}}$ の各項を $y^{\frac{3}{5}}$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.5.1

$y' y^{\frac{3}{5}} = - \frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}}$ の各項を $y^{\frac{3}{5}}$ で割ります。

$\frac{y' y^{\frac{3}{5}}}{y^{\frac{3}{5}}} = \frac{- \frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}}}{y^{\frac{3}{5}}}$

ステップ 5.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.5.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' y^{\frac{3}{5}}}{y^{\frac{3}{5}}} = \frac{- \frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}}}{y^{\frac{3}{5}}}$

ステップ 5.5.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- \frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}}}{y^{\frac{3}{5}}}$

ステップ 5.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.5.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$y' = - \frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}} \cdot \frac{1}{y^{\frac{3}{5}}}$

ステップ 5.5.3.2

$\frac{1}{y^{\frac{3}{5}}}$ に $\frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}}$ をかけます。

$y' = - \frac{15}{y^{\frac{3}{5}} (28 x^{\frac{1}{7}})}$

ステップ 5.5.3.3

$28$ を $y^{\frac{3}{5}}$ の左に移動させます。

$y' = - \frac{15}{28 y^{\frac{3}{5}} x^{\frac{1}{7}}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{15}{28 y^{\frac{3}{5}} x^{\frac{1}{7}}}$

微分積分 例

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