微分積分例

$x^{3} + y^{3} = 2$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $x^{3} + y^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 2.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [y^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

ステップ 3

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から $3 x^{2}$ を引きます。

$3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

ステップ 5.2

$3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$ の各項を $3 y^{2}$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.1

$3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$ の各項を $3 y^{2}$ で割ります。

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

ステップ 5.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

ステップ 5.2.2.2

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

ステップ 5.2.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$- 3$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1.1

$3$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 y^{2}}$

ステップ 5.2.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1.2.1

$3$ を $3 y^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2})}$

ステップ 5.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 y^{2}}$

ステップ 5.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{- x^{2}}{y^{2}}$

ステップ 5.2.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2}}$

微分積分 例

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