微分積分例

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \csc^{2} (\frac{1}{3} x)$

ステップ 1

関数 $f (x)$ は、微分係数 $f' (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$f (x) = \int f' (x) d x$

ステップ 2

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int \csc^{2} (\frac{1}{3} x) d x$

ステップ 3

$u = \frac{1}{3} x$ とします。次に $d u = \frac{1}{3} d x$ すると、 $3 d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u = \frac{1}{3} x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$\frac{1}{3} x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x]$

ステップ 3.1.2

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{3} x$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} \cdot 1$

ステップ 3.1.4

$\frac{1}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3}$

ステップ 3.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{3} \int \csc^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{3}$ で割ります。

$\frac{1}{3} \int \csc^{2} (u) (1 \cdot 3) d u$

ステップ 4.2

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} \int \csc^{2} (u) \cdot 3 d u$

ステップ 4.3

$3$ を $\csc^{2} (u)$ の左に移動させます。

$\frac{1}{3} \int 3 \csc^{2} (u) d u$

ステップ 5

$3$ は $u$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} (3 \int \csc^{2} (u) d u)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{3}{3} \int \csc^{2} (u) d u$

ステップ 6.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{3}{3} \int \csc^{2} (u) d u$

ステップ 6.2.2

式を書き換えます。

$1 \int \csc^{2} (u) d u$

ステップ 6.3

$\int \csc^{2} (u) d u$ に $1$ をかけます。

$\int \csc^{2} (u) d u$

ステップ 7

$- \cot (u)$ の微分係数が $\csc^{2} (u)$ なので、 $\csc^{2} (u)$ の積分は $- \cot (u)$ です。

$- \cot (u) + C$

ステップ 8

$u$ のすべての発生を $\frac{1}{3} x$ で置き換えます。

$- \cot (\frac{1}{3} x) + C$

ステップ 9

関数の微分係数の積分から導かれるならば関数 $f$ です。これは微積分の基本定理によって有効です。

$f (x) = - \cot (\frac{1}{3} x) + C$

微分積分 例

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