微分積分例

$f'' (t) = \frac{3}{\sqrt{t}}$

ステップ 1

関数 $f' (t)$ は、微分係数 $f'' (t)$ の不定積分を求めることで求められます。

$f' (t) = \int f'' (t) d t$

ステップ 2

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int \frac{1}{\sqrt{t}} d t$

ステップ 3

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{t}$ を $t^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$3 \int \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

ステップ 3.2

$t^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$3 \int {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d t$

ステップ 3.3

${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$3 \int t^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d t$

ステップ 3.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$3 \int t^{\frac{- 1}{2}} d t$

ステップ 3.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$3 \int t^{- \frac{1}{2}} d t$

ステップ 4

べき乗則では、 $t^{- \frac{1}{2}}$ の $t$ に関する積分は $2 t^{\frac{1}{2}}$ です。

$3 (2 t^{\frac{1}{2}} + C)$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

$3 (2 t^{\frac{1}{2}} + C)$ を $3 \cdot 2 t^{\frac{1}{2}} + C$ に書き換えます。

$3 \cdot 2 t^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 5.2

$3$ に $2$ をかけます。

$6 t^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 6

関数の微分係数の積分から導かれるならば関数 $f'$ です。これは微積分の基本定理によって有効です。

$f' (t) = 6 t^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 7

関数 $f (t)$ は、微分係数 $f' (t)$ の不定積分を求めることで求められます。

$f (t) = \int f' (t) d t$

ステップ 8

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 6 t^{\frac{1}{2}} d t + \int C d t$

ステップ 9

$6$ は $t$ に対して定数なので、 $6$ を積分の外に移動させます。

$6 \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int C d t$

ステップ 10

べき乗則では、 $t^{\frac{1}{2}}$ の $t$ に関する積分は $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ です。

$6 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + \int C d t$

ステップ 11

定数の法則を当てはめます。

$6 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + C t + C$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

$\frac{2}{3}$ と $t^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$6 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + C t + C$

ステップ 12.2

簡約します。

$4 t^{\frac{3}{2}} + C t + C$

ステップ 13

関数の微分係数の積分から導かれるならば関数 $f$ です。これは微積分の基本定理によって有効です。

$f (t) = 4 t^{\frac{3}{2}} + C t + C$

微分積分 例

微分積分例