微分積分例

$\frac{x^{5} - x^{3} + 2 x}{x^{4}}$

ステップ 1

$\frac{x^{5} - x^{3} + 2 x}{x^{4}}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{x^{5} - x^{3} + 2 x}{x^{4}}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{x^{5} - x^{3} + 2 x}{x^{4}} d x$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$x$ を $x^{5} - x^{3} + 2 x$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.1

$x$ を $x^{5}$ で因数分解します。

$\int \frac{x \cdot x^{4} - x^{3} + 2 x}{x^{4}} d x$

ステップ 4.1.2

$x$ を $- x^{3}$ で因数分解します。

$\int \frac{x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) + 2 x}{x^{4}} d x$

ステップ 4.1.3

$x$ を $2 x$ で因数分解します。

$\int \frac{x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) + x \cdot 2}{x^{4}} d x$

ステップ 4.1.4

$x$ を $x \cdot x^{4} + x (- x^{2})$ で因数分解します。

$\int \frac{x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot 2}{x^{4}} d x$

ステップ 4.1.5

$x$ を $x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot 2$ で因数分解します。

$\int \frac{x (x^{4} - x^{2} + 2)}{x^{4}} d x$

ステップ 4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\int \frac{x (x^{4} - x^{2} + 2)}{x \cdot x^{3}} d x$

ステップ 4.2.2

共通因数を約分します。

$\int \frac{x (x^{4} - x^{2} + 2)}{x \cdot x^{3}} d x$

ステップ 4.2.3

式を書き換えます。

$\int \frac{x^{4} - x^{2} + 2}{x^{3}} d x$

ステップ 5

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 5.1

$x^{3}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int (x^{4} - x^{2} + 2) {(x^{3})}^{- 1} d x$

ステップ 5.2

${(x^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int (x^{4} - x^{2} + 2) x^{3 \cdot - 1} d x$

ステップ 5.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\int (x^{4} - x^{2} + 2) x^{- 3} d x$

ステップ 6

$(x^{4} - x^{2} + 2) x^{- 3}$ を展開します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\int (x^{4} - x^{2}) x^{- 3} + 2 x^{- 3} d x$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$\int x^{4} x^{- 3} - x^{2} x^{- 3} + 2 x^{- 3} d x$

ステップ 6.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int x^{4 - 3} - x^{2} x^{- 3} + 2 x^{- 3} d x$

ステップ 6.4

$4$ から $3$ を引きます。

$\int x^{1} - x^{2} x^{- 3} + 2 x^{- 3} d x$

ステップ 6.5

簡約します。

$\int x - x^{2} x^{- 3} + 2 x^{- 3} d x$

ステップ 6.6

負をくくり出します。

$\int x - (x^{2} x^{- 3}) + 2 x^{- 3} d x$

ステップ 6.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int x - x^{2 - 3} + 2 x^{- 3} d x$

ステップ 6.8

$2$ から $3$ を引きます。

$\int x - x^{- 1} + 2 x^{- 3} d x$

ステップ 7

単一積分を複数積分に分割します。

$\int x d x + \int - x^{- 1} d x + \int 2 x^{- 3} d x$

ステップ 8

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - x^{- 1} d x + \int 2 x^{- 3} d x$

ステップ 9

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int x^{- 1} d x + \int 2 x^{- 3} d x$

ステップ 10

$x^{- 1}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + \int 2 x^{- 3} d x$

ステップ 11

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + 2 \int x^{- 3} d x$

ステップ 12

べき乗則では、 $x^{- 3}$ の $x$ に関する積分は $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ です。

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

簡約します。

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ステップ 13.1.1

$x^{- 2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

ステップ 13.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 2}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

ステップ 13.2

簡約します。

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + 2 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

ステップ 13.3

簡約します。

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ステップ 13.3.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) - 2 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

ステップ 13.3.2

$- 2$ と $\frac{1}{2 x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{- 2}{2 x^{2}} + C$

ステップ 13.3.3

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.3.3.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{2}} + C$

ステップ 13.3.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 13.3.3.2.1

$2$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{2})} + C$

ステップ 13.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{2}} + C$

ステップ 13.3.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{- 1}{x^{2}} + C$

ステップ 13.3.4

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) - \frac{1}{x^{2}} + C$

ステップ 14

答えは関数 $f (x) = \frac{x^{5} - x^{3} + 2 x}{x^{4}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) - \frac{1}{x^{2}} + C$

微分積分 例

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