微分積分例

$R' (x) = 4 x {(x^{2} + 27000)}^{- \frac{2}{3}}$

ステップ 1

関数 $R (x)$ は、微分係数 $R' (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$R (x) = \int R' (x) d x$

ステップ 2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int x {(x^{2} + 27000)}^{- \frac{2}{3}} d x$

ステップ 3

$u = x^{2} + 27000$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u = x^{2} + 27000$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$x^{2} + 27000$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 27000]$

ステップ 3.1.2

総和則では、 $x^{2} + 27000$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27000]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27000]$

ステップ 3.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [27000]$

ステップ 3.1.4

$27000$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $27000$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 3.1.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 3.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$4 \int u^{- \frac{2}{3}} \frac{1}{2} d u$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$u^{- \frac{2}{3}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$4 \int \frac{u^{- \frac{2}{3}}}{2} d u$

ステップ 4.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $u^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$4 \int \frac{1}{2 u^{\frac{2}{3}}} d u$

ステップ 5

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u)$

ステップ 6

式を簡約します。

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ステップ 6.1

簡約します。

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ステップ 6.1.1

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$\frac{4}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

ステップ 6.1.2

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

ステップ 6.1.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

ステップ 6.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

ステップ 6.1.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{1} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

ステップ 6.1.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$2 \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

ステップ 6.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 6.2.1

$u^{\frac{2}{3}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$2 \int {(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d u$

ステップ 6.2.2

${(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 \int u^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d u$

ステップ 6.2.2.2

$\frac{2}{3} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 6.2.2.2.1

$\frac{2}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$2 \int u^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d u$

ステップ 6.2.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 \int u^{\frac{- 2}{3}} d u$

ステップ 6.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$2 \int u^{- \frac{2}{3}} d u$

ステップ 7

べき乗則では、 $u^{- \frac{2}{3}}$ の $u$ に関する積分は $3 u^{\frac{1}{3}}$ です。

$2 (3 u^{\frac{1}{3}} + C)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$2 (3 u^{\frac{1}{3}} + C)$ を $2 \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} + C$ に書き換えます。

$2 \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} + C$

ステップ 8.2

$2$ に $3$ をかけます。

$6 u^{\frac{1}{3}} + C$

ステップ 9

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 27000$ で置き換えます。

$6 {(x^{2} + 27000)}^{\frac{1}{3}} + C$

ステップ 10

関数の微分係数の積分から導かれるならば関数 $R$ です。これは微積分の基本定理によって有効です。

$R (x) = 6 {(x^{2} + 27000)}^{\frac{1}{3}} + C$

微分積分 例

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