微分積分例

$s' (t) = t {(t - 1)}^{2}$

ステップ 1

関数 $s (t)$ は、微分係数 $s' (t)$ の不定積分を求めることで求められます。

$s (t) = \int s' (t) d t$

ステップ 2

$u = t - 1$ とします。次に $d u = d t$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = t - 1$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$t - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [t - 1]$

ステップ 2.1.2

総和則では、 $t - 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$

ステップ 2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d t} [- 1]$

ステップ 2.1.4

$- 1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int (u + 1) u^{2} d u$

ステップ 3

$(u + 1) u^{2}$ を展開します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\int u \cdot u^{2} + 1 u^{2} d u$

ステップ 3.2

$u$ を $1$ 乗します。

$\int u^{1} u^{2} + 1 u^{2} d u$

ステップ 3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int u^{1 + 2} + 1 u^{2} d u$

ステップ 3.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$\int u^{3} + 1 u^{2} d u$

ステップ 3.5

$u^{2}$ に $1$ をかけます。

$\int u^{3} + u^{2} d u$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int u^{3} d u + \int u^{2} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{3}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{4} u^{4}$ です。

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int u^{2} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

ステップ 7

簡約します。

$\frac{1}{4} u^{4} + \frac{1}{3} u^{3} + C$

ステップ 8

$u$ のすべての発生を $t - 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{4} {(t - 1)}^{4} + \frac{1}{3} {(t - 1)}^{3} + C$

ステップ 9

関数の微分係数の積分から導かれるならば関数 $s$ です。これは微積分の基本定理によって有効です。

$s (t) = \frac{1}{4} \cdot {(t - 1)}^{4} + \frac{1}{3} \cdot {(t - 1)}^{3} + C$

微分積分 例

微分積分例