微分積分例

$\frac{4}{\sqrt[3]{x}} - 4 \sqrt[3]{x^{2}}$

ステップ 1

$\frac{4}{\sqrt[3]{x}} - 4 \sqrt[3]{x^{2}}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{4}{\sqrt[3]{x}} - 4 \sqrt[3]{x^{2}}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{4}{\sqrt[3]{x}} - 4 \sqrt[3]{x^{2}} d x$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{4}{\sqrt[3]{x}} d x + \int - 4 \sqrt[3]{x^{2}} d x$

ステップ 5

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x + \int - 4 \sqrt[3]{x^{2}} d x$

ステップ 6

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$4 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x + \int - 4 \sqrt[3]{x^{2}} d x$

ステップ 6.2

$x^{\frac{1}{3}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$4 \int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x + \int - 4 \sqrt[3]{x^{2}} d x$

ステップ 6.3

${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 \int x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x + \int - 4 \sqrt[3]{x^{2}} d x$

ステップ 6.3.2

$\frac{1}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$4 \int x^{\frac{- 1}{3}} d x + \int - 4 \sqrt[3]{x^{2}} d x$

ステップ 6.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$4 \int x^{- \frac{1}{3}} d x + \int - 4 \sqrt[3]{x^{2}} d x$

ステップ 7

べき乗則では、 $x^{- \frac{1}{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ です。

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C) + \int - 4 \sqrt[3]{x^{2}} d x$

ステップ 8

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $- 4$ を積分の外に移動させます。

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C) - 4 \int \sqrt[3]{x^{2}} d x$

ステップ 9

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x^{2}}$ を $x^{\frac{2}{3}}$ に書き換えます。

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C) - 4 \int x^{\frac{2}{3}} d x$

ステップ 10

べき乗則では、 $x^{\frac{2}{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ です。

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C) - 4 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C)$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

簡約します。

$4 (\frac{3}{2}) x^{\frac{2}{3}} - 4 (\frac{3}{5}) x^{\frac{5}{3}} + C$

ステップ 11.2

簡約します。

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ステップ 11.2.1

$4$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$\frac{4 \cdot 3}{2} x^{\frac{2}{3}} - 4 (\frac{3}{5}) x^{\frac{5}{3}} + C$

ステップ 11.2.2

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{12}{2} x^{\frac{2}{3}} - 4 (\frac{3}{5}) x^{\frac{5}{3}} + C$

ステップ 11.2.3

$12$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.3.1

$2$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 6}{2} x^{\frac{2}{3}} - 4 (\frac{3}{5}) x^{\frac{5}{3}} + C$

ステップ 11.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} x^{\frac{2}{3}} - 4 (\frac{3}{5}) x^{\frac{5}{3}} + C$

ステップ 11.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} x^{\frac{2}{3}} - 4 (\frac{3}{5}) x^{\frac{5}{3}} + C$

ステップ 11.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{6}{1} x^{\frac{2}{3}} - 4 (\frac{3}{5}) x^{\frac{5}{3}} + C$

ステップ 11.2.3.2.4

$6$ を $1$ で割ります。

$6 x^{\frac{2}{3}} - 4 (\frac{3}{5}) x^{\frac{5}{3}} + C$

ステップ 11.2.4

$- 4$ と $\frac{3}{5}$ をまとめます。

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 4 \cdot 3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C$

ステップ 11.2.5

$- 4$ に $3$ をかけます。

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 12}{5} x^{\frac{5}{3}} + C$

ステップ 11.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$6 x^{\frac{2}{3}} - \frac{12}{5} x^{\frac{5}{3}} + C$

ステップ 12

答えは関数 $f (x) = \frac{4}{\sqrt[3]{x}} - 4 \sqrt[3]{x^{2}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $6 x^{\frac{2}{3}} - \frac{12}{5} x^{\frac{5}{3}} + C$

微分積分 例

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