微分積分例

$\arcsin (x)$

ステップ 1

$\arcsin (x)$ を関数で書きます。

$f (x) = \arcsin (x)$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \arcsin (x) d x$

ステップ 4

$u = \arcsin (x)$ と $d v = 1$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\arcsin (x) x - \int x \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

ステップ 5

$x$ と $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ をまとめます。

$\arcsin (x) x - \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

ステップ 6

$u = 1 - x^{2}$ とします。次に $d u = - 2 x d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1

$u = 1 - x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1

$1 - x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 6.1.2

微分します。

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ステップ 6.1.2.1

総和則では、 $1 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 6.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 6.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 6.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 6.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - (2 x)$

ステップ 6.1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$0 - 2 x$

ステップ 6.1.4

$0$ から $2 x$ を引きます。

$- 2 x$

ステップ 6.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\arcsin (x) x - \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\arcsin (x) x - \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

ステップ 7.2

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\arcsin (x) x - \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

ステップ 7.3

$2$ を $\sqrt{u}$ の左に移動させます。

$\arcsin (x) x - \int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

ステップ 8

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\arcsin (x) x - - \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\arcsin (x) x + 1 \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

ステップ 9.2

$\int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$ に $1$ をかけます。

$\arcsin (x) x + \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

ステップ 10

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\arcsin (x) x + \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 11

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 11.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\arcsin (x) x + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

ステップ 11.2

$u^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\arcsin (x) x + \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

ステップ 11.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 11.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\arcsin (x) x + \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

ステップ 11.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\arcsin (x) x + \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

ステップ 11.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\arcsin (x) x + \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 12

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $2 u^{\frac{1}{2}}$ です。

$\arcsin (x) x + \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

ステップ 13

$\arcsin (x) x + \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ を $\arcsin (x) x + u^{\frac{1}{2}} + C$ に書き換えます。

$\arcsin (x) x + u^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 14

$u$ のすべての発生を $1 - x^{2}$ で置き換えます。

$\arcsin (x) x + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 15

答えは関数 $f (x) = \arcsin (x)$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\arcsin (x) x + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$

微分積分 例

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