微分積分例

$\sin^{5} (x)$

ステップ 1

$\sin^{5} (x)$ を関数で書きます。

$f (x) = \sin^{5} (x)$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \sin^{5} (x) d x$

ステップ 4

$\sin^{4} (x)$ を因数分解します。

$\int \sin^{4} (x) \sin (x) d x$

ステップ 5

くくりだして簡約します。

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ステップ 5.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\int {\sin (x)}^{2 (2)} \sin (x) d x$

ステップ 5.2

${\sin (x)}^{2 (2)}$ を累乗法として書き換えます。

$\int {(\sin^{2} (x))}^{2} \sin (x) d x$

ステップ 6

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\sin^{2} (x)$ を $1 - \cos^{2} (x)$ に書き換えます。

$\int {(1 - \cos^{2} (x))}^{2} \sin (x) d x$

ステップ 7

$u = \cos (x)$ とします。次に $d u = - \sin (x) d x$ すると、 $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.1

$u = \cos (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 7.1.1

$\cos (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 7.1.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- \sin (x)$

ステップ 7.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int - {(1 - u^{2})}^{2} d u$

ステップ 8

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int {(1 - u^{2})}^{2} d u$

ステップ 9

${(1 - u^{2})}^{2}$ を展開します。

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ステップ 9.1

${(1 - u^{2})}^{2}$ を $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ に書き換えます。

$- \int (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) d u$

ステップ 9.2

分配則を当てはめます。

$- \int 1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

ステップ 9.3

分配則を当てはめます。

$- \int 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

ステップ 9.4

分配則を当てはめます。

$- \int 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2}) d u$

ステップ 9.5

$u^{2}$ を移動させます。

$- \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) d u$

ステップ 9.6

$u^{2}$ を移動させます。

$- \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

ステップ 9.7

$1$ に $1$ をかけます。

$- \int 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

ステップ 9.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \int 1 - u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

ステップ 9.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

ステップ 9.10

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} + 1 u^{2} u^{2} d u$

ステップ 9.11

$u^{2}$ に $1$ をかけます。

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

ステップ 9.12

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

ステップ 9.13

$2$ と $2$ をたし算します。

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{4} d u$

ステップ 9.14

$- u^{2}$ から $u^{2}$ を引きます。

$- \int 1 - 2 u^{2} + u^{4} d u$

ステップ 9.15

$- 2 u^{2}$ と $u^{4}$ を並べ替えます。

$- \int 1 + u^{4} - 2 u^{2} d u$

ステップ 9.16

$1$ を移動させます。

$- \int u^{4} - 2 u^{2} + 1 d u$

ステップ 10

単一積分を複数積分に分割します。

$- (\int u^{4} d u + \int - 2 u^{2} d u + \int d u)$

ステップ 11

べき乗則では、 $u^{4}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{5} u^{5}$ です。

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C + \int - 2 u^{2} d u + \int d u)$

ステップ 12

$- 2$ は $u$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 \int u^{2} d u + \int d u)$

ステップ 13

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int d u)$

ステップ 14

定数の法則を当てはめます。

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C)$

ステップ 15

簡約します。

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ステップ 15.1

簡約します。

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ステップ 15.1.1

$\frac{1}{3}$ と $u^{3}$ をまとめます。

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C)$

ステップ 15.1.2

$\frac{1}{5}$ と $u^{5}$ をまとめます。

$- (\frac{u^{5}}{5} + C - 2 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C)$

ステップ 15.2

簡約します。

$- (\frac{u^{5}}{5} - \frac{2 u^{3}}{3} + u) + C$

ステップ 16

$u$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$- (\frac{\cos^{5} (x)}{5} - \frac{2 \cos^{3} (x)}{3} + \cos (x)) + C$

ステップ 17

項を並べ替えます。

$- (\frac{1}{5} \cos^{5} (x) - \frac{2}{3} \cos^{3} (x) + \cos (x)) + C$

ステップ 18

答えは関数 $f (x) = \sin^{5} (x)$ の不定積分です。

$F (x) =$ $- (\frac{1}{5} \cos^{5} (x) - \frac{2}{3} \cos^{3} (x) + \cos (x)) + C$

微分積分 例

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